设p>1,当n-1≤x≤n时,有一≤ 所以 d x d x P-1L(n-1) (n=23…) 考虑级数∑ ZL(n-1)p-lnP- ()其部分和 P-12p-1 P-(n+1)p (n+1) 故级数(*)收敛,由定理2知,级数∑一当p>1时收敛,综上,得 当P-级数,当p>1时收敛,当p≤1时发散 定理3(比较法的极限形式)设∑un和∑"都是正项级数,如果 (1)lm=1(0≤1<+∞),且级数∑vn收敛,则级数∑un收敛。 (2)lmn=1>0或m=+∞,且级数∑v发散,则级数∑n发散 证明(1)由极限定义可知,对于E=1,丑N,使当n>N时,有<l+1,,即 n<(+1)n,再由比较审敛法可得级数∑n收敛 (2)按已知条件可知极限m一存在,如果级数∑un收敛,则由结论(1)必有级数 ∑"n收敛,但已知级数∑v发散,因此级数∑un不可能收敛,即级数∑n发散 例3判别级数∑sn的收敛性 解∵lmn-.n=1
设 p 1 ，当 n −1 x n 时，有 p p n x 1 1 ， 所以 − − − − − − − = = n n n n p p p p p p n n dx x dx n n 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 (n = 2,3, ) 考虑级数 (*) 1 ( 1) 1 2 1 1 = − − − n − p p n n 其部分和 1( ) ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 → → + = − + + + − + − = − − − − − − − n n n n Sn p p p p p p 故级数（*）收敛，由定理 2 知，级数 =1 1 n p n 当 p 1 时收敛，综上，得 当 p − 级数，当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散 定理 3（比较法的极限形式）设 n=1 n u 和 n=1 n v 都是正项级数，如果 （1） lim = ,(0 +) → l l v u n n n ，且级数 n=1 n v 收敛，则级数 n=1 n u 收敛。 （2） = 或 = +， → → n n n n n n v u l v u lim 0 lim 且级数 n=1 n v 发散，则级数 n=1 n u 发散。 证明（1） 由极限定义可知，对于 =1， N ，使当 n N 时，有 l +1, v u n n ，即 n n u (l +1)v ，再由比较审敛法可得级数 n=1 n u 收敛。 （2）按已知条件可知极限 n n n u v → lim 存在，如果级数 n=1 n u 收敛，则由结论(1)必有级数 n=1 n v 收敛，但已知级数 n=1 n v 发散，因此级数 n=1 n u 不可能收敛，即级数 n=1 n u 发散。 例 3 判别级数 =1 1 sin n n 的收敛性 解 ∵ 1 1 1 sin lim = → n n n
由定理3知此级数发散。 定理4(比值审敛法)若正项级数∑un的后项与前项之比值的极限等于p: im=叫=p,则当p<1时,级数收敛;p>1(或皿m==∞)时级数发散:p=1时 级数可能收敛也可能发散 证明(1)当p<1,取一个适当正数E,使p+E=y<1,依极限定义,彐自然数m, 使n≥m,有=<p+E=y,因此, um+I <ym,um+? <MmI <yum.um+3 <Mm+? <r"u 这样,级数n1+un+2+lm+3+…各项小于收敛的等比级数 mn+y2lun+y3un+…(<1)的各对应项,所以它也收敛。由于∑un只比它多了前 m项,因此∑un也收敛。 (2)当p>1,取一个适当正数E,使p-E>1,依极限定义,当n≥m时,有 以>P-E>,即un1>ln,从而 lm u≠0,可知∑un发散,类似可证,当 lim 发散 (3)当p=1时,由P-级数可知结论正确 例4判别级数F2”n 的收敛性 2”+·(n+1)!n nk n 1+ n+1
∴由定理 3 知此级数发散。 定理 4（比值审敛法）若正项级数 n=1 n u 的后项与前项之比值的极限等于 ： = + → n n n u u 1 lim ，则当 1 时，级数收敛； 1 （或 = + → n n n u u 1 lim ）时级数发散； = 1 时 级数可能收敛也可能发散。 证明 ⑴ 当 1 ，取一个适当正数 ，使 + = 1 ，依极限定义， 自然数 m ， 使 n m ，有 + = + n n u u 1 ，因此， um+1 um ,um+2 um+1 2 um, um+3 um+2 3 um, 这样，级数 um+1 + um+2 + um+3 + 各项小于收敛的等比级数 um + 2 um + 3 um + ( 1) 的各对应项，所以它也收敛。由于 n=1 n u 只比它多了前 m 项，因此 n=1 n u 也收敛。 ⑵ 当 1 ，取一个适当正数 ，使 − 1 ，依极限定义，当 n m 时，有 1, 1 − + n n u u 即 un+1 un ，从而 lim 0 → n n u ，可知 n=1 n u 发 散 ， 类似 可 证， 当 = + → n n n u u 1 lim ， n=1 n u 发散。 ⑶ 当 = 1 时，由 p − 级数可知结论正确。 例 4 判别级数 = 1 2 ! n n n n n 的收敛性 解 ∵ n n n n n n n n n n n n n n n u u + = + = + + = + + + 1 1 1 2 1 2 ( 1) 2 ! 2 ( 1)! 1 1 1 ∴ 1 2 1 1 2 lim lim 1 = + = → + → e n u u n n n n n
故级数收敛 定理5(根值审敛法)设∑un为正项级数,如果它的一般项un的n次根的极限等于p imun=p,则当p<1时,级数收敛,p>1(或lmn=+90)时级数发散,p=1 时级数可能收敛也可能发散 证明与定理4相仿,这里从略。 例5判别级数∑(2n+1)的收敛性 解mun=+2+<1所以级数收敛。 定理6(极限审敛法)设∑n为正项级数, (1)如果 lim nu=1>0(或mmn=+∞),则级数∑ln发散: (2)如果p>1,而mnn"un=1(0≤1<+∞)则级数∑un收敛。 证明(1)在极限形式的比较审敛法中,取”,=,由调和级数∑发散,知结论成 (2)在极限形式的比较审敛法中,取v。 1,当p1时,p级数∑收敛,故结 论成立。 例6判定级数∑√+1(1-cos2)的收敛性 解因为imn2Ln=lmn2Ⅶn+1(1-cs-) n→① n n+11 lim n 根据极限审敛法,知所给级数收敛。 、交错级数及其审敛法 个级数的各项如果事正负相间的就叫做交错级数。若l>0(l,<0也一样) n=1,2,3…,则a1-2+l3-l4+…+(-1)”un+…就是一个交错级数
故级数收敛。 定理 5（根值审敛法）设 n=1 n u 为正项级数，如果它的一般项 n u 的 n 次根的极限等于 ： = → n n n lim u ，则当 1 时，级数收敛， 1 （或 = + → n n n lim u ）时级数发散， = 1 时级数可能收敛也可能发散。 证明与定理 4 相仿，这里从略。 例 5 判别级数 = n 1 2 +1 n n n 的收敛性 解 1, 2 1 2 1 lim lim = + = → → n n u n n n n 所以级数收敛。 定理 6（极限审敛法）设 n=1 n u 为正项级数， （1）如果 lim = 0 → nu l n n （或 = + → n n lim nu ），则级数 n=1 n u 发散； （2）如果 p>1,而 lim = (0 +), → n u l l n p n 则级数 n=1 n u 收敛。 证明（1）在极限形式的比较审敛法中，取 n vn 1 = ，由调和级数 =1 1 n n 发散，知结论成 立； （2）在极限形式的比较审敛法中，取 n p n v 1 = ，当 p>1 时，p-级数 =1 1 n p n 收敛，故结 论成立。 例 6 判定级数 = + − 1 1(1 cos ) n n n 的收敛性. 解 因为 lim lim 1(1 cos ) 2 3 2 3 n n u n n n n n = + − → → 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 1 lim = + = → n n n n n 根据极限审敛法，知所给级数收敛。 二、 交错级数及其审敛法 一个级数的各项如果事正负相间的就叫做交错级数。若 un 0 （ un 0 也一样） n = 1,2,3 ，则 u1 − u2 + u3 − u4 ++ (−1) n−1 un + 就是一个交错级数
定理7(莱布尼兹准则)若(1)un>0(u)un≥unt1(m) lim u=0, 则级数∑(-1)”n收敛,且0≤∑(-1)”n≤ 证明先证前2n项的和S的极限存在, S2=(u1-l2)+(u2-l4)+…+(u2n1-2n)→{S2n}↑(括号非负) l imS2n+=lim(S2n+u2a+1)=S(条件(mn) 几→∞ Sn=S≤u1 例7证明交错级数1-7…+(-1n收敛 证明un n+14n(n=1,2,…)及lmln=m==0 n→n 由莱氏判别法,知∑(-1)1-收敛,且其和S<1,如果取前n项的和 23.+(,作为S的近似值,产生的误差|≤,(=un) S.=1--+ 三、绝对收敛与条件收敛 每一个任意项级数的各项都换为它的绝对值,那就对应地有一个正项级数,该正项级数 与任意项级数的收敛性有下面定理所述的关系。 定理8若∑收敛,则∑n也收敛 证明令,=1(n+n),则n,≥0,即∑,是正项级数, n而∑收敛,从而∑2n收敛,又2vn-n=un,由基本性质,知 收敛 必须指出,此定理的逆定理不成立。 定义若∑m收敛,则称∑n是绝对收敛的:如果∑un收敛而∑n|发散,则称
定理 7 （莱布尼兹准则）若 (i)un 0 1 ( )un un+ ii ( )lim = 0 → n n iii u ， 则级数 = − − 1 1 ( 1) n n n u 收敛，且 1 1 1 0 ( 1) u u n n n − = − 证明 先证前 2n 项的和 S2n 的极限存在， S2n = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + ...+ (u2n−1 − u2n ) →{S2n } （括号非负） 又 2 1 2 3 4 5 2 2 2 1 2 2 1 S n = u − (u − u ) − (u − u ) −− (u n− − u n− ) − u n → S n u 2 1 lim S n S u n = → (条件 (i) ，(ii) ) S S n u n S n n n = + + = → + → lim lim ( ) 2 1 2 2 1 （条件 (iii) ） 故 1 lim Sn S u n = → 例 7 证明交错级数 − + − ++ − − + n n 1 ( 1) 4 1 3 1 2 1 1 1 收敛 证明 0 1 = n un ( 1,2, ) 1 1 1 = 1 = + = u + n n n un n 及 0 1 lim = lim = → → n u n n n 由莱氏判别法，知 = − − 1 1 1 ( 1) n n n 收敛，且其和 S 1 ，如果取前 n 项的和， n S n n 1 ... ( 1) 3 1 2 1 1 −1 = − + + + − ，作为 S 的近似值，产生的误差 ( ) 1 1 = +1 + n un n 三、绝对收敛与条件收敛 每一个任意项级数的各项都换为它的绝对值，那就对应地有一个正项级数，该正项级数 与任意项级数的收敛性有下面定理所述的关系。 定理 8 若 n=1 un 收敛，则 n=1 n u 也收敛 证明 令 ( ) 2 1 n un un v = + ，则 vn 0 ，即 n=1 n v 是正项级数， n un v 而 n=1 un 收敛，从而 =1 2 n n v 收敛，又 n un un 2v − = ，由基本性质，知 n=1 n u 收敛。 必须指出，此定理的逆定理不成立。 定义 若 n=1 un 收敛，则称 n=1 n u 是绝对收敛的；如果 n=1 n u 收敛而 n=1 un 发散，则称