二阶常系数齐线性微分方程y+py+qy=0 特征方程x2+p+q=0。 特征根 通解形式 λ≠2(实根) y=Ceir +ce n,x =22(实重根) y=e(C1+C2x) A12=aiB(共轭复根)y=e"(C1 coS Bx+C2snB3x)
二阶常系数齐线性微分方程 y + p y + q y = 0 特征方程 0 2 + p+ q= 。 特 征 根 通 解 形 式 ( ) 1 2 实根 x x y C e C e 1 2 1 2 = + ( ) 1 = 2 实重根 ( ) 1 2 1 y e C C x x = + i ( ) 1,2 = 共轭复根 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = +
例求方程y-2y-3y=0的通解 解特征方程x2-22-3=0, 特征根=1,2=3 所求通解为y=Cex+C2ex
例解 求方程 y− 2y−3y = 0 的通解。 2 3 0 特征方程 2 − − = ， 1 3 特征根 1 ＝－， 2 = ， 3 所求通解为 y = C1e−x +C2e x
例求方程y-2y+5y=0的通解 解特征方程x2-22+5=0, 特征根1=1+2i,2=1-2i, 所求通解为y=e'Ccos2x+C2sin2x)
例解 求方程 y− 2y+ 5y = 0 的通解。 2 5 0 特征方程 2 − + = ， 1 2i 1 2i 特征根 1 = + ， 2 = − ， ( cos2 sin 2 ) 所求通解为 y = ex C1 x +C2 x
例求方程a+20+8=0满足初始条件的解 d t 解特征方程x+2+1=0, 特征根x1=2=-1, 所求通解为y=e(C1+C2t)。 由初始条件S|=4, d s =-2得 t=0 d t t=0 故所求特解为 S=e-(4+2t)
例 解 0 d d 2 d d 2 2 求方程 + + s = 满足初始条件的解： t s t s 2 1 0 特征方程 2 + + = ， 1 特征根 1 = 2 = − ， ( ) 所求通解为 y = e −t C1 +C2 t 。 2 d d 4 0 0 = ， = − 。 = = t t t s s 2 4 2 d d 4 1 2 0 由初始条件 0 = ， = − 得 = ， = ， = = C C t s s t t 故所求特解为 s e (4 2 t)。 t = + −
例用手将悬挂着的质量为m的弹簧从静止状态 开始拉长,当点O的位移为x=x0时,突然放手, 些时弹簧仅受到弹性恢复力∫的作用。求反映此弹 黉运动的规律(设其弹性系数为k)。 解
例 解 用手将悬挂着的质量为 m 的弹簧从静止状态 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 O 开始拉长， 当点 的位移为 x = x0 时， 突然放手， 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。 O