一。一般结果引理1给定单位正交右手标架(ro；To，No，Bo}，在曲线论基本定理条件下任取一点So/，则联立方程组(6.1)(6.2）的满足初始条件(r(So); e1(So), e2(so), e3(so)) = (ro; To, No, Bo)的唯一解恰好为一条弧长 s参数化曲线 C:r=r(s)的Frenet标架场曲线论基本定理里给定区间/=（a,b)上的连续可微函数x(s)>0 和连续函数 (s)，则在 E3 中①存在弧长s参数化曲线Cr=r(s)，使其曲率函数 x(s)= x(s) ， 并且其挠率函数 (s)= (s)上述曲线C在合同意义下是唯一的2
一．一般结果 引理1 给定单位正交右手标架 {r0 ; T0 , N0 , B0 } ，在曲线 论基本定理条件下任取一点 s0I ，则联立方程组 (6.1)- (6.2) 的满足初始条件 {r(s0 ); e1 (s0 ), e2 (s0 ), e3 (s0 )} = {r0 ; T0 , N0 , B0 } 的唯一解恰好为一条弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 的 Frenet标架场． 曲线论基本定理 给定区间 I = (a, b) 上的连续可微函数 `(s) > 0 和连续函数`(s) ，则在 E3 中 ① 存在弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) ，使其曲率函 数 (s) =`(s) ，并且其挠率函数 (s) =`(s) ； ② 上述曲线 C 在合同意义下是唯一的．
曲线论基本定理的证明引理1说明存在性结论①成立：以下证明唯一性结论②设两条曲线 C:r=r(s)和 C*:r=r*(s)同时以 s为弧长参数并具有相同的曲率函数 (s)= *(s)>0 和相同的挠率函数 (s)= t*(s)；要证这两条曲线合同.任取定点Soe/，这两条曲线在此对应点的Frenet标架分别记为 (r(So); T(so), N(So), B(So)) 和 (r*(so); T*(So),N*(So),B*(So))，则两个标架之间相差的正交变换对应于一个刚体运动α：E3一E3由于弧长、曲率和挠率在刚体运动下都不变，故不妨设C*在α下的像(C*）在点 So处的Frenet标架重合于(r(So); T(so), N(So), B(So)) :再由引理1，可知 α(C*)与 C 重合；此即 C*与 C合同结论得证
曲线论基本定理的证明 引理1说明存在性结论①成立．以下证明唯一性结论②. 设两条曲线 C: r = r(s) 和 C*: r = r*(s) 同时以 s 为弧长参 数并具有相同的曲率函数 (s) = *(s) > 0 和相同的挠率 函数 (s) = *(s) ；要证这两条曲线合同． 任取定点 s0I ，这两条曲线在此对应点的Frenet标架 分别记为 {r(s0 ); T(s0 ), N(s0 ), B(s0 )} 和 {r*(s0 ); T*(s0 ), N*(s0 ), B*(s0 )} ，则两个标架之间相差的正交变换对应于 一个刚体运动 : E3→E3 ． 由于弧长、曲率和挠率在刚体运动下都不变，故不妨 设 C* 在 下的像 (C*) 在点 s0 处的Frenet标架重合于 {r(s0 ); T(s0 ), N(s0 ), B(s0 )} ． 再由引理1，可知 (C*) 与 C 重合；此即 C* 与 C 合同， 结论得证． □