例：约化密度矩阵a0oa01a02a03TrTaooa03ao1a02a10a11a13a12Tr2a10a11a12a13a/20a22a21a23a20a21a22a.23TrTra32a30a31a33a30a31a32a33aoo+a11a02+a13a20+a31a22+a33
例：约化密度矩阵
从混态到纯态：纯化（purification）通过将主量子系统和一辅助量子系统纠缠起来，可以将主量子系统的混态用整体纠缠系统的纯态表示。这种方法称为纯化（purification）。①将主量子系统的密度矩阵利用其本征值和本征态写成对角形式。于是算符A的期望值是(A)=pm<pm/Alpm)②引入辅助量子系统（ancillarysystem），使之和主量子系统纠缠起来[2b)=pm/pm)pm)(A)=(blA1l2b)=EEVpmPn(pmlAlpn)<pmlipnmm在添加了辅助态，原先的密度矩阵被纯化成1女）例如，纠缠态10)=Vpmei0mpm）[入m)测量算符A的期望值在纯化操作下是不变的1也可以具有和原先密度矩阵p=pmlpm）<pml相同的统计性质纯化形式并不惟一
从混态到纯态：纯化（purification） 通过将主量子系统和一辅助量子系统纠缠起来，可以将主量子系统的混态用整体纠缠系统的纯态表示。这 种方法称为纯化（purification）。 ① 将主量子系统的密度矩阵利用其本征值和本征态写成对角形式。于是算符𝐴መ 的期望值是 ②引入辅助量子系统（ancillary system），使之和主量子系统纠缠起来 ⚫ 在添加了辅助态，原先的密度矩阵被纯化成 |ψ⟩ ⚫ 测量算符 𝐴መ 的期望值在纯化操作下是不变的 ⚫ 纯化形式并不惟一 例如，纠缠态 也可以具有和原先密度矩阵 相同的统计性质
C.量子力学2.0c.2量子比特口经典比特（classicalbits）是物理系统取两种不同的状态：BitQubitvS01=10)= [0)一口量子比特（quantumbits）是具有两个正交量子态的量子系统，于是量子比特可以用正交态任意线性叠加出来：=[1)=[1)Co|0) + Ci/1),(Co, C1 E C)=?=C,l0) +C,/1)1qubit=无穷多经典比特信息！0b =ao[0) +a1/1)1=
C.量子力学2.0 c.2 量子比特 经典比特（classical bits）是物理系统取两种不同的状态: 量子比特（quantum bits）是具有两个正交量子态的量子 系统，于是量子比特可以用正交态任意线性叠加出来: 0 1 1 qubit = 无穷多经典比特信息！
±[0)ely口可以将量子比特（纯态）表示成Bloch球面上的点[0) + [1)V2球面上的点代表纯态[0) + [1)球直径两端的对拓点代表互相正交的一组态V2/1)H≥任意单量子比特态可以写为=COS0)+661y)=cos=10)+elsing11)口量子比特（纯态）的幺正变换【元0)=[1)6,0)=1)Bitflip Y-gate:Bit flip+phase tiX- gate:0元|1)=[0)（|1)=-0)Quantumcomputation【0)=+0)[initial)Z-gate:Phaseflip (phase+l)00,/1) =-[1)任意作用在单量子比特态上的幺正算符为U = expi(ai + βr .o)= eia(cos βi+isin β r .0)UMα=0绕r轴转2β角度040 = exp(0.) exp(0%)exp (0:大[target)绕x、y、=轴分别转v、μ、入角度（Euler角）
可以将量子比特（纯态）表示成 Bloch 球面上的点 ➢ 球面上的点代表纯态 ➢ 球直径两端的对拓点代表互相正交的一组态 ➢ 任意单量子比特态可以写为 ➢ 任意作用在单量子比特态上的幺正算符为 绕 r 轴转2𝛽角度 绕 x、y、z 轴分别转𝜈、𝜇、𝜆角度（Euler角） 𝛼=0 𝑼 𝟏 𝑼 𝟐 𝑼 𝟑 𝑼 𝟒 ȁinitial⟩ ȁtarget⟩ Quantum computation 量子比特（纯态）的幺正变换 Bit flip Bit flip+phase ±i Phase flip (phase ±1)
口可以将量子比特（混态）表示成Bloch球内的点(i+o+o+o,保证tr(p)= 1u2+2+w2=1u,,wER①厄米性纯态，是算符uo+ou+woz本征值为1的本征态u? +? +w2<1②p是正算符2+2+w2<1混态，落在Bloch球内(00)wo)Proof对角化密度矩阵)p=[1+(u2+2+)/] 10+) (p+1+[1-(u2 + 2 + w2)/] 1e- (--ifu?+?+w?=1,thenp=[p+p+lwi)Q.E.D.101)
可以将量子比特（混态）表示成 Bloch 球内的点 保证 𝑡𝑟 𝜌ො = 1 ① 厄米性 ② 𝜌ො 是正算符 纯态，是算符 本征值为1的本征态 混态，落在Bloch球内 Proof 对角化密度矩阵 Q.E.D