《高等数学》下用教案第九章多元函数微分法及应用 定理2、设函数z=化，y)在点（化，y)的一阶偏导数存在且一阶偏导数连续，则函数z=fx,y)在 点(x,y)可微。 例1.设z=acan于，求在，点(2，)，且△r=05,Ay=0.1时的全微分， 会应哈》 烈-令气-专暖-05.-01.“ 气息a如s(1os §4、多元复合函数的导数 对于非抽象的函数构成的复合函数，可以直接按照求导公式和法则求其偏导数及其高阶 偏导数。却：=，则会-2心之，高=e,…也可以按限下西的复合画数的未导 方法。 一.设z=fu,),u=p(x,),v=wk,)构成复合函数：z=f((x,,w(,y》, 考虑复合函数的偏导数： 国定y,给x以增量△x,相应于函数u=(x,y),v=y(x,y),有偏增量△，4、△，v: 如果z=f(u,)一阶偏导数连续，则必然可微，对于其自变量山，v的增量△山，△v,函数z=fu,) 的企量为如会加亮△+p,共中p=ar+a,从后时于增量A,A 函数z=f(山，)的增量可以表示为 p=V(△，2+（④，） 对于复参高数石，止=4，即：A:完△+宗A+ 从万当0时，有：长点0会能积 如果函数u=p(x,y),v=w(x,y)的一阶偏导数存在，则 共37页一第11页 泰衣安
《高等数学》下用教案 第九章多元函数微分法及其应用 2-▣a可=点20 0 是会会会0会 定理1、设1=p(x,),v=y(x,y)在点(x,y)的偏导数存在，而z=f,)在相应的u,)点偏 导数连续，则复合函数z=fx,以y(G,叨在点(c,)有连续的一阶偏导数，且 Bz 8z Bu Bz Bv OzOz Ou Oz Ov dx ou ox ov ax ay au ay av oy 戌2-+ a-过+过ay ox ou &x Bv &x ay ou oy ov ay 以上的求导规则也称为链导规则。 1,0,净袋含 u=2ucosy siny2x cosysin ycosy+cos ysiny =3x2cos'ysiny 容-会号会答-mmrn =2x2cosysin y(-xsiny)+x2cos2 y(xcosy)=x'cos y(cos2y-2sin y) 解：空-产+空=w1+Wn1=y+n =(x+y)--x-y+(x+y)n(x+y》} 客-念容会容wu0b叫 =(x+y)--{x-y-(x+y)nx+y)} 注：也可以写出复合函数z=(xy),或z=(x+y),再求偏导数。 二.全微分的形式不变性 共37页-第12页 妻衣安
《高等数学》下用教案第九章多元函数微分法及其应用 设画数：=)一价偏子数连埃，则一定可。即也亮加+会血：又设画数 =会盘+兵+后亮会+等小 表明不论是自变量还是中间变量全微分的形式都是相同的，此性质称为全微分的形式不变性。 例3.镜：=，=可，=+少，用全损分形式不交性，未会容 解：b=d(e"sinv)=e'sin vdu+e"cosvdv=e'"sin vd(xy)+e"cosvd(x+y） =e"sin v(ydx+xdy)+e"cos v(dx+dy) =(e"sinv.y+e"cosv)dx+(e"sinv.x+e"cosv)dy =e(ysin(x+y)+cos(x+y)+e(sin(x+y)+cos(x+y)dy 所以：em(r+功+cox+明，二etx++o*》 三、含有抽象函数的复合函数求导法则 1.设z=fu,),u=p(x,),v=w(x,)构成复合函数：z=f(x,y,w(xy》 会会器等会含 注：①图示法： ②增加一个中间变量，规则中每个公式增加一项：如z=fu,出，w),=(x,y),v=(x,y), Bz Bz Bu Bz ov dz ow x ax ou ex ov dx ow Ox 等告等号 ③增加一个自变量，规则中增加一个公式： dzdz du dz dv 共37页一第13页 基京安