应的特征向量W,归一化后,即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值 2、层次分析法优点 (1)系统性的分析方法 层次分析法把研究对象作为一个系统,按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策 成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。系统的思想在于不割断各 个因素对结果的影响,而层次分析法中每一层的权重设置最后都会直接或间接影响到结果 而且在每个层次中的每个因素对结果的影响程度都是量化的,非常清晰、明确。 (2)简洁实用的决策方法 该方法既不单纯追求高深数学,又不片面地注重行为、逻辑、推理,而是把定性方法与 定量方法有机地结合起来,使复杂的系统分解,能将人们的思维过程数学化、系统化,便于 人们接受,且能把多目标、多准则又难以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题, 通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系后,最后进行简单的数学运算 所得结果简单明确,容易为决策者了解和掌握。 (3)所需定量数据信息较少 该方法主要是从评价者对评价问题的本质、要素的理解出发,比一般的定量方法更讲求 定性的分析和判断。由于层次分析法是一种模拟人们决策过程的思维方式的一种方法,层次 分析法把判断各要素的相对重要性的步骤留给了大脑,只保留人脑对要素的印象,化为简单 的权重进行计算。这种思想能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题。 3、层次分析法缺点 (1)不能为决策提供新方案 层次分析法的作用是从备选方案中选择较优者,这个作用正好说明了层次分析法只能从 原有方案中进行选取,而不能为决策者提供解决问题的新方案 (2)定量数据较少,定性成分多,不易令人信服 在如今对科学的方法的评价中,一般都认为一门科学需要比较严格的数学论证和完善的 定量方法。但现实世界的问题和人脑考虑问题的过程很多时候并不是能简单地用数字来说明 一切的。层次分析法是一种带有模拟人脑的决策方式的方法,因此必然带有较多的定性色彩 这样,当一个人应用层次分析法来做决策时,其他人就会说:为什么会是这样?能不能用数 学方法来解释?如果不可以的话,你凭什么认为你的这个结果是对的?你说你在这个问题上 认识比较深,但我也认为我的认识也比较深,可我和你的意见是不一致的,以我的观点做出 来的结果也和你的不一致,这个时候该如何解决? (3)指标过多时数据统计量大,且权重难以确定。 当希望能解决较普遍的问题时,指标的选取数量很可能也就随之增加。指标的增加就意 味着要构造层次更深、数量更多、规模更庞大的判断矩阵。那么就需要对许多的指标进行两 两比较的工作。由于一般情况下对层次分析法的两两比较是用1至9来说明其相对重要性 如果有越来越多的指标,那么对每两个指标之间的重要程度的判断可能就出现困难了,甚至 会对层次单排序和总排序的一致性产生影响,使一致性检验不能通过,也就是说,由于客观
6 应的特征向量 W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 2、层次分析法优点 （1）系统性的分析方法 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策， 成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。系统的思想在于不割断各 个因素对结果的影响，而层次分析法中每一层的权重设置最后都会直接或间接影响到结果， 而且在每个层次中的每个因素对结果的影响程度都是量化的，非常清晰、明确。 （2）简洁实用的决策方法 该方法既不单纯追求高深数学，又不片面地注重行为、逻辑、推理，而是把定性方法与 定量方法有机地结合起来，使复杂的系统分解，能将人们的思维过程数学化、系统化，便于 人们接受，且能把多目标、多准则又难以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题， 通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系后，最后进行简单的数学运算。 所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握。 （3）所需定量数据信息较少 该方法主要是从评价者对评价问题的本质、要素的理解出发，比一般的定量方法更讲求 定性的分析和判断。由于层次分析法是一种模拟人们决策过程的思维方式的一种方法，层次 分析法把判断各要素的相对重要性的步骤留给了大脑，只保留人脑对要素的印象，化为简单 的权重进行计算。这种思想能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题。 3、层次分析法缺点 （1）不能为决策提供新方案。 层次分析法的作用是从备选方案中选择较优者，这个作用正好说明了层次分析法只能从 原有方案中进行选取，而不能为决策者提供解决问题的新方案。 （2）定量数据较少，定性成分多，不易令人信服。 在如今对科学的方法的评价中，一般都认为一门科学需要比较严格的数学论证和完善的 定量方法。但现实世界的问题和人脑考虑问题的过程很多时候并不是能简单地用数字来说明 一切的。层次分析法是一种带有模拟人脑的决策方式的方法，因此必然带有较多的定性色彩。 这样，当一个人应用层次分析法来做决策时，其他人就会说：为什么会是这样？能不能用数 学方法来解释？如果不可以的话，你凭什么认为你的这个结果是对的？你说你在这个问题上 认识比较深，但我也认为我的认识也比较深，可我和你的意见是不一致的，以我的观点做出 来的结果也和你的不一致，这个时候该如何解决？ （3）指标过多时数据统计量大，且权重难以确定。 当希望能解决较普遍的问题时，指标的选取数量很可能也就随之增加。指标的增加就意 味着要构造层次更深、数量更多、规模更庞大的判断矩阵。那么就需要对许多的指标进行两 两比较的工作。由于一般情况下对层次分析法的两两比较是用 1 至 9 来说明其相对重要性， 如果有越来越多的指标，那么对每两个指标之间的重要程度的判断可能就出现困难了，甚至 会对层次单排序和总排序的一致性产生影响，使一致性检验不能通过，也就是说，由于客观
事物的复杂性或对事物认识的片面性,通过所构造的判断矩阵求出的特征向量(权值)不 定是合理的。不能通过,就需要调整,在指标数量多的时候这是个很痛苦的过程,因为根据 人的思维定势,你觉得这个指标应该是比那个重要,那么就比较难调整过来,同时,也不容 易发现指标的相对重要性的取值里到底是哪个有问题,哪个没问题。这就可能花了很多时间 仍然是不能通过一致性检验,而更糟糕的是根本不知道哪里出现了问题 (4)特征值和特征向量的精确求法比较复杂。 在求判断矩阵的特征值和特征向量时,所用的方法和多元统计所用的方法是一样的。在 二阶、三阶的时候,还比较容易处理,但随着指标的增加,阶数也随之增加,在计算上也变 得越来越困难。在此情况下,比较常用的解决办法是采用近似计算方法,主要有和积法、幂 法和方根法。 、层次分析法计算步骤 l、判断矩阵构造 判断矩阵表示针对上一层次中的某一元素而言,评定本层次中各有关元素相对重要性的 状况,其形式参见表2.1。其中b表示对于Ak而言,元素B1对B相对重要性的判断值。b 般取1,3,5,7,9等5个等级标度;2,4,6,8表示相邻判断的中值,当5个等级不够 用时可使用这几个数,具体含义见表2.2所示 表21判断矩阵表 表22指标重要性判断标度 表示两个因素相比,具有同样重要性 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素极端重要 2、4、6、8为上述相邻判断的中值 2、层次单排序 层次单排序的目的是对于上层次中的某元素而言,确定本层次与之有联系的各元素重要 性次序的权重值。其任务可归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题。对于判断矩阵B, 计算满足 BW=max We (2.1) 的特征根和特征向量。式中,max为B的最大特征根;W为对应于λm的正规化特征向量
7 事物的复杂性或对事物认识的片面性，通过所构造的判断矩阵求出的特征向量（权值）不一 定是合理的。不能通过，就需要调整，在指标数量多的时候这是个很痛苦的过程，因为根据 人的思维定势，你觉得这个指标应该是比那个重要，那么就比较难调整过来，同时，也不容 易发现指标的相对重要性的取值里到底是哪个有问题，哪个没问题。这就可能花了很多时间， 仍然是不能通过一致性检验，而更糟糕的是根本不知道哪里出现了问题。 （4）特征值和特征向量的精确求法比较复杂。 在求判断矩阵的特征值和特征向量时，所用的方法和多元统计所用的方法是一样的。在 二阶、三阶的时候，还比较容易处理，但随着指标的增加，阶数也随之增加，在计算上也变 得越来越困难。在此情况下，比较常用的解决办法是采用近似计算方法，主要有和积法、幂 法和方根法。 二、层次分析法计算步骤 1、判断矩阵构造 判断矩阵表示针对上一层次中的某一元素而言，评定本层次中各有关元素相对重要性的 状况，其形式参见表 2.1。其中 bij 表示对于 Ak 而言，元素 Bi 对 Bj 相对重要性的判断值。bij 一般取 1，3，5，7，9 等 5 个等级标度; 2，4，6，8 表示相邻判断的中值，当 5 个等级不够 用时可使用这几个数，具体含义见表 2.2 所示。 表 2.1 判断矩阵表 Ak B1 B2 … BN B1 b11 b12 … b1n B2 b21 b22 … b2n … … … … … BN bn1 bn2 … bnn 表 2.2 指标重要性判断标度 标度 含义 1 表示两个因素相比，具有同样重要性 3 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 5 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 7 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 9 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 2、4、6、8 为上述相邻判断的中值 2、层次单排序 层次单排序的目的是对于上层次中的某元素而言，确定本层次与之有联系的各元素重要 性次序的权重值。其任务可归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题。对于判断矩阵 B， 计算满足 BW = maxWi （2.1） 的特征根和特征向量。式中， max 为 B 的最大特征根；W 为对应于 max 的正规化特征向量；
W的分量W即为对应元素单排序的权重值。目前主要采用方根法或和积法两种近似算法求 解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量 (1)方根法 ①将矩阵A中每行元素连乘并开m次方,得到向量W=(n,n2,,vn),其中: (22) ②对W作归一化处理,得到权重向量W=(w,w2,Wm),其中 ③对矩阵A中每列元素求和,得到向量S=(s,s2,…!Sm),其中 ④计算的值。 B∥ W x,‖W, Bw W (2)和积法 ①将矩阵A的元素按列作归一化处理,得矩阵Q=(q加mxm。其中 ②将Q的元素按行相加,得向量a=(ax1a2y,an)。其中 ③对向量a作归一化处理,得权重向量W=(w1,w2,wm),其中 a12∝k (29) ④求出最大特征值。 (B)
8 W 的分量 Wi 即为对应元素单排序的权重值。目前主要采用方根法或和积法两种近似算法求 解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。 （1）方根法 ①将矩阵 A 中每行元素连乘并开 m 次方，得到向量 T W w w wm ( , ,..., ) * * 2 * 1 * = ，其中： m m j wi aij = = 1 * （2.2） ②对 W*作归一化处理，得到权重向量 W=(w1,w2, …wm) T，其中 = = m i wi wi wi 1 * * / （2.3） ③对矩阵 A 中每列元素求和，得到向量 S=(s1,s2, …sm)，其中 sj== m i aij 1 （2.4） ④计算 max 的值。 s wi SW m i = i = =1 max = = m i i i w BW m 1 1 ( ) （2.5） = n n nn n n n W W W x x x x x x x x x BW 2 1 1 2 12 22 2 11 21 1 （2.6） （2）和积法 ①将矩阵 A 的元素按列作归一化处理，得矩阵 Q=(qij)m×m。其中 = = m k qij aij akj 1 / （2.7） ②将 Q 的元素按行相加，得向量 T m ( , ,..., ) = 1 2 。其中 = = m j i qij 1 （2.8） ③对向量 作归一化处理，得权重向量 W=(w1,w2, …wm) T，其中 = = m k wi i k 1 / （2.9） ④求出最大特征值。 = = m i i i w BW m 1 max 1 ( ) （2.10）
为检验判断矩阵的一致性,需要计算它的一致性指标CI 式中,当Cl=0时,判断矩阵具有完全一致性;CⅠ值愈大则判断矩阵的一致性就愈差。为检 验判断矩阵是否具有令人满意的一致性,需要将CI与平均随机一致性指标R(表3)进行比较, 当判断矩阵的随机一致性比例 Cl <0.10 (2.12) 时,可认为判断矩阵具有令人满意的一致性:否则就需要调整判断矩阵直到满意为止 表23平均随机一致性指标 阶数 789101112131415 RI000.580.891.121.261.361411.461.491.521.541.561.581.59 3、层次总排序 利用同一层次中所有层次单排序的结果计算针对上一层次而言的本层次所有元素的重要 性权重值,层次总排序需要从上到下逐层顺序进行 4、一致性检验 为评价层次总排序计算结果的一致性,类似于层次单排序也需要进行一致性检验,分别 计算下列指标 C=∑aCl (2.13) R=∑aRb (2.14) C CR (2.15) R 式中,C/为层次总排序的一致性指标;Cl为与a对应的B层次中判断矩阵的一致性指 标;R为层次总排序的随机一致性指标:为与a对应的B层次中判断矩阵的随机一致性 指标:CR为层次总排序的随机一致性比例。当CR<0.10时认为层次总排序的计算结果具有 令人满意的一致性,否则就需要对本层次的各判断矩阵进行调整,直至层次总排序的一致性 检验达到要求为止。 三、应用实例 根据指标重要性判断标度表中的判断方法,某公路边坡安全评价中岩土性质因素4个指 标判断矩阵的构造如表24所示。 表24某公路边坡岩土性质指标判断矩阵 X41 l/7 17 1/5
9 为检验判断矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标 CI 1 max − − = n n CI （2.11） 式中，当 CI＝0 时，判断矩阵具有完全一致性；CI 值愈大则判断矩阵的一致性就愈差。为检 验判断矩阵是否具有令人满意的一致性，需要将 CI 与平均随机一致性指标 RI(表 3)进行比较， 当判断矩阵的随机一致性比例 = 0.10 RI CI CR （2.12） 时，可认为判断矩阵具有令人满意的一致性；否则就需要调整判断矩阵直到满意为止。 表 2. 3 平均随机一致性指标 阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0 0 0.58 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 3、层次总排序 利用同一层次中所有层次单排序的结果计算针对上一层次而言的本层次所有元素的重要 性权重值，层次总排序需要从上到下逐层顺序进行。 4、一致性检验 为评价层次总排序计算结果的一致性，类似于层次单排序也需要进行一致性检验，分别 计算下列指标 = = m CI ajCIj j 1 （2.13） = = m j RI ajRIj 1 （2.14） RI CI CR = （2.15） 式中，CI 为层次总排序的一致性指标；CIj 为与 aj 对应的 B 层次中判断矩阵的一致性指 标；RI 为层次总排序的随机一致性指标；RIj 为与 aj 对应的 B 层次中判断矩阵的随机一致性 指标；CR 为层次总排序的随机一致性比例。当 CR<0.10 时认为层次总排序的计算结果具有 令人满意的一致性，否则就需要对本层次的各判断矩阵进行调整，直至层次总排序的一致性 检验达到要求为止。 三、应用实例 根据指标重要性判断标度表中的判断方法，某公路边坡安全评价中岩土性质因素 4 个指 标判断矩阵的构造如表 2.4 所示。 表 2.4 某公路边坡岩土性质指标判断矩阵 x41 x42 x43 x44 x41 1 1/7 1/7 1/5
7 l/3 根据判断矩阵提供的信息利用方根法求解最大特征根和特征向量。判断矩阵每一行指标 的乘积为M,则有 1×1/7×1/7×1/5=00041 (2.16) 同理,可计算其它3个指标的判断矩阵乘积,见表25。 计算M的n次方根W。对于M1有:W=M1=0004=02528,同理可计算出其它 3个指标的4次方根,见表25 通过归一化处理确定权重W1。于是有: W=W/∑=0252802528+2.1407+21407+08633=00468(217) 其它3个指标归一化处理后的数据见表25。 由此可得各指标的权重向量为 W=(W1W2W3W)=(004680.3966039660.1600y(218) BW向量为: 1/71/71/5T0.04681「02257 71130.39661.9450 BW= (2.19) 71130.39661.3259 51/31/310.16000.5774 0.22571.94501.32590.5774 4.0628 004680.3966039660.1600 (220) 一致性检验有 A-n4.0628-4 =0.0209 (221) n 4-1 C?sCI0.0209 0.0235 RI0.89 (222) 由于CR=0.0235<0.1,经一致性检验可确定权重计算结果合理。 表25某公路边坡安全评价岩土性质因素指标权重计算一览表 指标 M (BW) xI 0.0041 0.2528 0.0468 0.1921
10 x42 7 1 1 3 x43 7 1 1 3 x44 5 1/3 1/3 1 根据判断矩阵提供的信息利用方根法求解最大特征根和特征向量。判断矩阵每一行指标 的乘积为 Mi ，则有 41 42 43 44 1 1/ 7 1/ 7 1/ 5 0.0041 4 1 1 = 4 = = = = M x x x x x j j （2.16） 同理，可计算其它 3 个指标的判断矩阵乘积，见表 2.5。 计算 Mi 的 n 次方根 Wi 。对于 M1 有： 0.0041 0.2528 4 4 W1 = M1 = = ，同理可计算出其它 3 个指标的 4 次方根，见表 2.5。 通过归一化处理确定权重 Wi。于是有： / 0.2528/(0.2528 2.1407 2.1407 0.8633) 0.0468 1 1 = 1 = + + + = = n i W W Wi （2.17） 其它 3 个指标归一化处理后的数据见表 2.5。 由此可得各指标的权重向量为： ( ) ( ) T T W = W1 W2 W 3 W4 = 0.0468 0.3966 0.3966 0.1600 （2.18） BW 向量为： = = 0.5774 1.3259 1.9450 0.2257 0.1600 0.3966 0.3966 0.0468 5 1/ 3 1/ 3 1 7 1 1 3 7 1 1 3 1 1/ 7 1/ 7 1/ 5 BW （2.19） ) 4.0628 0.1600 0.5774 0.3966 1.3259 0.3966 1.9450 0.0468 0.2257 ( 4 1 ( ) 1 4 1 1 max = = + + + = = i= n i i i W BW n （2.20） 一致性检验有 0.0209 4 1 4.0628 4 1 max = − − = − − = n n CI （2.21） 0.0235 0.89 0.0209 = = = RI CI CR （2.22） 由于 CR = 0.0235 0.1 ，经一致性检验可确定权重计算结果合理。 表 2.5 某公路边坡安全评价岩土性质因素指标权重计算一览表 指标 Mi Wi Wi BW i ( ) x41 0.0041 0.2528 0.0468 0.1921