《机械控制工程基础》课程授课教案（讲稿）第02章 拉普拉斯变换

第2章拉普拉斯变换图2.3正弦函数和余弦函数（5）脉动函数考虑下列脉动函数[40<t<to(2.19)f(t)=/t010t<0,t<t式中，A和to为常数这里的脉动函数可以看成是一个从=0开始的高度为A/to的阶跃函数，与另一个从=lo开始的高度为A/to的负阶跃函数叠加而成，如图2.4所示，即AA(2.20)f(t)=-u(t)--u(t-to)totoft0oto图2.4·脉动函数于是，脉动函数的拉氏变换为Au()-L[f(O)]=L-ut-tot(2.21)A_Ae"=-A(1-e-$o)toslostos（6）脉冲函数脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。考虑下列脉冲函数Mlim0<t<△(2.22)40△g(t)=01<0,△<t因为这种脉冲函数的高度为A/△，持续时间为A，所以脉冲下的面积等于A。当持续时间△趋近于零时，高度A/A趋近于无穷大，但是脉冲下的面积仍然等于A。应当指出，脉冲的大小是用它的面积来度量的。利用式（2.22）可以证明这个脉冲函数的拉氏变换为：13

13 图 2.3 正弦函数和余弦函数 （5）脉动函数 考虑下列脉动函数 0 0 0 0 ( ) 0 0, A t t f t t t t t     =      （2.19） 式中，A 和 t0 为常数。 这里的脉动函数可以看成是一个从 t=0 开始的高度为 A/t0 的阶跃函数，与另一个从 t=t0 开 始的高度为 A/t0 的负阶跃函数叠加而成，如图 2.4 所示，即 0 0 0 ( ) ( ) ( ) A A f t u t u t t t t = − − （2.20） 图 2.4 脉动函数 于是，脉动函数的拉氏变换为 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ( )] ( ) ( ) e (1 e ) st st A A L f t L u t L u t t t t A A A t s t s t s − −     = − −         = − = − （2.21） （6）脉冲函数 脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。考虑下列脉冲函数 0 lim 0 ( ) 0 0, A t g t t t       =        → （2.22） 因为这种脉冲函数的高度为 A/∆，持续时间为∆，所以脉冲下的面积等于 A。当持续时间∆ 趋近于零时，高度 A/∆趋近于无穷大，但是脉冲下的面积仍然等于 A。应当指出，脉冲的大小 是用它的面积来度量的。 利用式（2.22）可以证明这个脉冲函数的拉氏变换为：

机械控制工程基础L[g(0)]= limAd[A(1-e-")](2.23)Asd4=lim(As)d(因此，脉冲函数的拉氏变换等于该脉冲下的面积。特别地，当面积A=1的脉冲函数称单位脉冲函数，或称狄拉克(Disac)函数，如图2.5（a）所示，常用8(t)表示。发生在1=to处的单位脉冲函数通常用(t-t）表示，如图2.5（b）所示。此时，(t-t）满足下列条件：O(t+1.)8(t-t):8(t= lo)(2.24)[8(t-to)dt =10t&t-to) --14oo(a)(b)图2.5单位脉冲函数应当说明，量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在物理系统中发生。但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。例如，当力或者力矩输入量(）在很短的持续时间内(O<t<t)作用到系统上，并且f(t)的量值充分大，致使积分f(t)dt不能忽视时，这个输入量就可以看做是一个脉冲输入。应当指出，当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。单位脉冲函数8(t-t）可以看做是单位阶跃函数u(t-t)在间断点t=t。上的导数，即08(t-10)=u(t-to)(2.25)dt"相反，如果对单位脉冲函数8(t-t）积分' 8(t-t)dt =u(t-10)(2.26)积分的结果就是单位阶跃函数u(t-t）。利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这14

14 ( ) 0 0 [ ( )] lim (1 e ) d (1 e ) d lim d d s s A L g t s A As A s s −   −     = −        −    = = =   → → （2.23） 因此，脉冲函数的拉氏变换等于该脉冲下的面积。 特别地，当面积 A=1 的脉冲函数称单位脉冲函数，或称狄拉克(Disac)函数，如图 2.5（a） 所示，常用  ()t 表示。发生在 t = t0 处的单位脉冲函数通常用 0  ( ) t t − 表示，如图 2.5（b）所示。 此时， 0  ( ) t t − 满足下列条件： 0 0 0 0 - 0 ( ) ( ) ( ) ( )d 1 t t t t t t t t t     − =   = − =  ∞ ∞ ∞ （2.24） 图 2.5 单位脉冲函数 应当说明，量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在 物理系统中发生。但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较 非常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。例如，当力或者力矩输入量 f t() 在很短 的持续时间内 (0 )  t  作用到系统上，并且 f t() 的量值充分大，致使积分 0 f t t ( )d   不能忽视 时，这个输入量就可以看做是一个脉冲输入。 应当指出，当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并 不重要。脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。 单位脉冲函数 0  ( ) t t − 可以看做是单位阶跃函数 0 u t t ( ) − 在间断点 0 t t = 上的导数，即 0 0 d ( ) ( ) d t t u t t t  − = − （2.25） 相反，如果对单位脉冲函数 0  ( ) t t − 积分 0 0 0 ( )d ( ) t t  t t t u t t − = −  （2.26） 积分的结果就是单位阶跃函数 0 u t t ( ) − 。 利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这

第2章拉普拉斯变换些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。（7）加速度函数考虑下列加速度函数：[Ar?1≥0f(t)(2.27)t<00式中，A为常数。加速度函数的拉氏变换为L[Ar']-["At'e-"dt=[Pe-"te-"dt-21(2.28)=24S3特别地，当A=二时的加速度函数称单位加速度函数，如图2.6（a）所示，通常用α(t）表2示。发生在to时的单位加速度函数通常写成α(t-t），如图2.6（b）所示。a(0)4a(t-to) 61ooTto(a)(b)图 2.6 单位加速度函数因此，单位加速度函数α()可由下式定义0(t<0)(2.29)a(t)=(t≥0)其拉氏变换为-2.ut-e-"d[, e" dtre(2.30)I315

15 些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。 （7）加速度函数 考虑下列加速度函数： 2 0 ( ) 0 0 At t f t t  =    （2.27） 式中，A 为常数。 加速度函数的拉氏变换为 2 2 2 0 0 0 3 [ ] e d e 2 e d 1 2 st st st A L At At t t t t s A s − − −   = = −     =   ∞ ∞ ∞ （2.28） 特别地，当 1 2 A = 时的加速度函数称单位加速度函数，如图 2.6（a）所示，通常用 at() 表 示。发生在 t=t0 时的单位加速度函数通常写成 0 a t t ( ) − ，如图 2.6（b）所示。 图 2.6 单位加速度函数 因此，单位加速度函数 at() 可由下式定义 2 0 ( 0) ( ) 1 ( 0) 2 t a t t t    =    （2.29） 其拉氏变换为 2 2 0 2 0 0 3 1 1 ( ) e d 2 2 1 1 e e d 2 1 st st st L t u t t t t t t s s − − −    =       = −       =   ∞ ∞ ∞ （2.30） ≥ ≥

机械控制工程基础2.关于拉氏积分下限的说明在某些情况下，如果时间函数f(t)在t=0处有一个脉冲函数8(t)，这时必须明确地指出拉氏积分的下限是0-还是0+。因为对于这两种下限，f(t)的拉氏变换是不同的。如果拉氏积分下限的这种区别是必要的，可采用下列符号予以区分：LLf(0)]= Jf(0)e"dt(2.31)L[f(0)]= Jf(0)e"dt = ff()e"dt +L[f(0)如果时间函数f()在=0处包含一个脉冲函数8(t)，则(2.32)L())+L[f(t))因为在这种情况下f(t)e-"'dt*0显然，如果在=0处f(0)不具有脉冲函数8(0）（即如果被变换的函数在=0-和=0+之间是有限的），则有(2.33)L,Lf()}=L[f()2.2拉氏变换的性质虽然，根据拉氏变换的定义，利用式（2.3）可以求得一些常用函数的拉氏变换，但是，在实际工程应用中，常常不去作这一积分运算，而是利用拉氏变换的一些基本性质（或称“定理”）得出它们的变换关系式。在掌握了这些基本性质后，运用有关定理，可以方便地求得一些复杂时间函数的拉氏变换。本节将介绍拉氏变换的基本性质，它们在控制工程中是非常重要的。2.2.1线性性质线性性质也称叠加性，即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。当函数乘以K时，其变换式也乘以相同的常数K。这个性质的数学描述为若()=F;(s),[ r(0Xd)]-++()。Ki、K为常数时，则s2(2.34)L[K.(t)±K,f2(t)=K,F(s)±K,F(s)证明：L[K,J.(t)±K,J(0)]=J[K,f(0)±K,f(t)]e-"di=JKf()e"dt±JK,()e"d=K,F(s)+K,F(s)16

16 2．关于拉氏积分下限的说明 在某些情况下，如果时间函数 f t() 在 t=0 处有一个脉冲函数  ()t ，这时必须明确地指出拉 氏积分的下限是 0－还是 0＋。因为对于这两种下限， f t() 的拉氏变换是不同的。如果拉氏积分 下限的这种区别是必要的，可采用下列符号予以区分： 0 0 0 0 [ ( )] ( )e d [ ( )] ( )e d ( )e d [ ( )] st st st L f t f t t L f t f t t f t t L f t + + − − − + − − − + = = = +    ∞ ∞ （2.31） 如果时间函数 f t() 在 t=0 处包含一个脉冲函数  ()t ，则 L f t L f t [ ( )] [ ( )] + −  （2.32） 因为在这种情况下 0 0 ( )e d 0 st f t t + − −   显然，如果在 t=0 处 f t() 不具有脉冲函数  ()t （即如果被变换的函数在 t=0-和 t=0+之间是 有限的），则有 L f t L f t [ ( )] [ ( )] + − = （2.33） 2.2 拉氏变换的性质 虽然，根据拉氏变换的定义，利用式（2.3）可以求得一些常用函数的拉氏变换，但是， 在实际工程应用中，常常不去作这一积分运算，而是利用拉氏变换的一些基本性质（或称“定 理”）得出它们的变换关系式。在掌握了这些基本性质后，运用有关定理，可以方便地求得一 些复杂时间函数的拉氏变换。 本节将介绍拉氏变换的基本性质，它们在控制工程中是非常重要的。 线性性质也称叠加性，即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。当函数乘以 K 时，其变换式也乘以相同的常数 K。 这个性质的数学描述为 若 1 1 L f t F s [ ( )] ( ) = , 1 2 2 2 2 ( ) (0) (0) ( )(d ) F s f f L f t t s s s − −   = + +    。K1、K2 为常数时，则 1 1 2 2 1 1 2 2 L K f t K f t K F s K F s [ ( ) ( )] ( ) ( )  =  （2.34） 1 1 2 2 1 1 2 2 0 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]e d ( )e d ( )e d ( ) ( ) st st st L K f t K f t K f t K f t t K f t t K f t t K F s K F s − − −  =  =  =     ∞ ∞ ∞

第2章拉普拉斯变换这个性质表明了函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。【例2.1】求f(t)=sinot的拉氏变换F(s)。解：根据欧拉公式1(e)f(t)=sinot=2i而1F[eid1F[e-je"]-s+jo由拉氏变换的线性性质可知0L[sinot]52+02ios+jo用同样的方法可求得sLJcos ot|=5+0?2.2.2微分性质若Lf())=F(s)，则df(t(2.35)sF(s)- f(O)式中，f(O)是f(0)在t=0时的初始值。对于给定的时间函数f()，其f(0）和f(0）的值可能相同，也可能不同，如图2.7所示。当f()在t=0处具有间断点时，f(0.）和f(0.之间的差别很重要，因为在这种情况下df(t)/dr在1=0处将包含一个脉冲函数8()。即f(0.）≠f(0.），则式（2.35）必须修改为：df(t)sF(s)- f(0.)1dt(2.36)df(t)sF(s)-f(0_)Ldt证明：根据拉氏变换的定义，有df(t)[@e"ddtd对右端积分利用分部积分法，可得["d= (e" +s], (e"dr= sL[F(0)- f(O) = sF(s)- f(O)17

17 这个性质表明了函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。 【例 2.1】 求 f t t ( ) sin =  的拉氏变换 F s( ) 。 根据欧拉公式 1 ( ) sin (e e ) 2 j t j t f t t j    − = = − 而 1 [e ] 1 [e ] j t j t F s j F s j     − = − = + 由拉氏变换的线性性质可知 2 2 1 1 1 [sin ] 2 L t j s j s j s        = − =     − + + 用同样的方法可求得 2 2 [cos ]   + = s s L t 若 L f t F s [ ( )] ( ) = ，则 d ( ) ( ) (0) d f t L sF s f t   = −     （2.35） 式中， f (0) 是 f t() 在 t=0 时的初始值。 对于给定的时间函数 f t() ，其 f (0 ) + 和 f (0 ) − 的值可能相同，也可能不同，如图 2.7 所示。 当 f t() 在 t＝0 处具有间断点时， f (0 ) + 和 f (0 ) − 之间的差别很重要，因为在这种情况下 df (t)/dt 在 t＝0 处将包含一个脉冲函数  ()t 。即 f (0 ) + ≠ f (0 ) − ，则式（2.35）必须修改为： d ( ) ( ) (0 ) d d ( ) ( ) (0 ) d f t L sF s f t f t L sF s f t + + − −   = −       = −     （2.36） 根据拉氏变换的定义，有 0 d ( ) d ( ) e d d d st f t f t L t t t     − =          ∞ 对右端积分利用分部积分法，可得 0 0 0 d ( ) e d ( )e ( )e d d [ ( )] (0) ( ) (0) st st st f t t f t s f t t t sL f t f sF s f   − − − = +     = − = −   ∞ ∞ ∞