在P,C#,U,F的定义中,由于它们的实际组合意义,要 求n,r合于 为了便于今后应用和统一处理一些问题,现在对n,r的取值范围 进行扩充.为此,引进以下定义式: 1,若丌≥ P 0,若0≤n< (x)fx(x-1)…(x-r+1),若r≥1, 若r=0 x为不定元或任意实数; 若 若 或r<0≤ CP=1(-1) 若丌<0且r>0, (-1) ,若丌<0且r<0 这里自然就发生一个问题:如上扩充n,r的范围以后,原来 的基本关系是否仍然保持?下面的定理回答了这一问题 定理131 ),-1,P=nP (1.31) ),-+(x-1),P=rP=}1+ (1.3,2) C〓C;1+Cn,n,r∈Z,(n,r)气(0,0);(1.33) ,r∈z; (13,4) n=C0=1,n∈Z (13.5) 证明 (131)的证明.由定义 (x)=x(x-1)…(x-r+1) r(x 若 (x-1),若
若r≥1 此即(13.1)的第一式.代x=#入内则得第二式 (1.32)的证明。由(L3.1), ),-1m( )+r](x-1) (x-1)-1+(x-1),-1(x-r) (x-1),-1+(x-1) 此即(1.3.2)的第一式.代x=a入内则得第二式 (133)的证明.当n≥r≥2时,(1.3.3)就是(1218) 对n≥0,r≥0的其他清形,(13.3)的正确性可由下表得出: C 4≤n<r 等式成立 等式成立 n=1 等式成立 0 等式成立 等式成立 1r= 0 等式成立 n=0r=0 等式不成立 由C"的扩充定义 C=0(r+0 故 」n|+r-1 若n=0< 若 这就是说,在C的扩充定义中,n<0的公式对n≤0也成立: 十 1) 若n≤0 (13.6) 若n≤0,r<0 另一方面,当n≤0<r时 19
c;=:-1y/(!m/+1)+r-1 (ln!+1)+( (-1) 因为此时有|n+r>0,r>0,故由(1.3.6)和上二式, n十r-1 Cn1+C-(-1) n 类似地,当n≤0,r<0时 CA 因为此吋有|}>0,|n!≥0,故由(1.36)和上二式, C#+c;=(-1)+|(7 综上所述,得(1.3.3) (134)的证明.当n≥r≥1时,(13.4)即(1.2.,20).对 n≥0,r≥0的其他情形,(134)的正确性可由下表得出 Cr C 0 0 当n≥0>时, 当n<0,t<0且n≤r时
Cn(-1) n十 0,若n< 若 C 1∫0,若n In 1,若 当n<0,r<0且n>r时, C#=(-1) n 综上所述,得(134). (135)的证明.C=1是定义式,Cn=1当群≥0时 是平凡的.当n<0时 C"=(-1)3 ln|-1 故有(135),至此定理已全部证毕 由(1.218)和(1.33)可得著名的杨辉三角形: 0 1051
其中单箭头表示数的继承;双箭头表示数的相加,尾的二数为加 数和被加数,箭头的数则为和.于是标号为m的行与标号为r的 列之交口处的数值即C 现在转而讨论另一个排列问题:如果n个元a1,a2,…,an可 分成r组,每一组中的元素是相同的,不同组间的元素是不同的 第i组元素的个数是b;(I≤≤1),b1+∷十b〓n,今欲求 这n个元的不同的全排列数V(b1,…b). 数V(b…,b)也即是集[,1的R-排列数,这里R是限 制条件 集[1,门]的任一元i在排列中出现b次,这样的排列称为集 [1,r]的(b1,…,b,)-排列 定理132 V(bi, b2 bu) (137) b!b2!b:! 第一个证明.先把第i类(1≤i≤)中的b个元看作是互 不相同的,那么集{a1,……,an}的全排列数为r!;然后把这b个 元看作是相同的,则在这n!个排列中,每个排列都重复出现 h1!b2!…b!次.所以符合条件的排列数是(137)的右节 二个证明.对z行数学归纳法 1时结论是平凡 的.设 v(b1,…,b,-1 (b1+ 由于第t组中的b个元可在排列中的任意位置出现,故 b+…十b v(h1…,b-1b:)〓 T(如1…;b-) 证毕 (137)的右节就是熟知的多项式系数.在线性齐次项式 的n次方幂