第七章定积分 第七章定积分 The definite integration 7-1定积分概念与性质 7-2可积性与可积函数类 6-3 Newton- Leibniz公式 7-4定积分的计算方法 7-5定积分的应用 7-6广义积分 7-6-1在无穷区间上的广义积分 7-6-2在无穷区间上的广义积分 习题讨论 题目: 计算I +a 2,计算n=∫r(d,其中n,m为自然数 3.计算J=71-2,其中对是x的整数部分 4,一研究l=「x,12=「xd,D的敛散性 x+ sin x 5,设f:(-,+∞)→R,在任何有限区间可积,且有lmf(x)=A 证明,t,()=j0(x+0)-f(x)=0 第七章定积分
第七章 定积分 第七章 定积分 第七章 定积分 ( The definite integration ) 7-1 定积分概念与性质 7-2 可积性与可积函数类 6-3 Newton－Leibniz 公式 7-4 定积分的计算方法 7-5 定积分的应用 7-6 广义积分 7-6-1 在无穷区间上的广义积分 7-6-2 在无穷区间上的广义积分 习题讨论 题目： 1, 计算 ( ) + − − + − = dx x b a a x b I 2 2 。 2, 计算 ( ) = 1 0 I t ln t dt n m m , 其中 n, m 为自然数。 3, 计算 + = − 1 1 1 dx x x J , 其中 x 是 x 的整数部分。 4, 一研究 ( ) + + = 0 2 1 sin sin dx x x x x I p p , + + = 0 2 sin sin dx x x x I p , p>0 的敛散性. 5, 设 f :(− ,+)→ R,在任何有限区间可积，且有 f x A x = → lim ( ) , 证明,t , ( ) = ( ( + ) − ( )) = 0 + − I t f x t f x dx
第七章定积分 解答: 1,计算I √ dx dt I=4a ydv =4∫1=4∫ I=2√a dy=vai d v +1 2 √a 2,计算m=「r(n)d,其中Bm为自然数。 解1-」ph=1(ar "(nt (-)y "dt= (-1ym (n+)y 计算小-了,其时小是的数 解:首先证收敛性:因 xx-xx」x(x-1)(x-1 <+0→ 第七章定积分
第七章 定积分 第七章 定积分 解答： 1, 计算 ( ) + − − + − = dx x b a a x b I 2 2 。 解：令 t = x −b, ( ) + − − + − = dx x b a a x b I 2 2 = + − + dt t a a t 2 2 = + + 0 2 2 2 dt t a a t ; 令 a t v = , + + = 0 4 2 1 4 v v dv I a ; 令 v w 1 = , + + = 0 4 2 1 4 v v dv I a = + + 0 4 1 4 w dw a ; + + + = 0 4 2 1 1 2 dv v v I a = ( ) ( ) ( ) + − + − − − + + − = + + 0 2 1 1 0 2 2 2 2 4 1 4 v v d v v dv a v v v a = a v a arctg v 2 1 2 1 2 0 = − + . 2, 计算 ( ) = 1 0 I t ln t dx n m m , 其中 n, m 为自然数。 解： ( ) = 1 0 I t ln t dx n m m = ( ) ( ) + + 1 0 1 ln 1 1 m n t d t n = ( ) ( ) 1 1 0 1 1 0 1 1 ln 1 ln 1 1 − + − + = − + − + m n m n m I n m t t dt n m t t n ; ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 ! 1 ! 1 1 − + + − = + = − + = − m m n m m m m n m t dt n m I n m I . 3, 计算 + = − 1 1 1 dx x x J , 其中 x 是 x 的整数部分。 解：首先证收敛性：因 ( 1) 1 1 1 − − − = x x x x x x x x ( ) 2 1 1 − x , ( ) + + + + − 2 − 1 2 1 1 1 dx x x x dx ;
第七章定积分 dx lim 1=m(1-hk+1 In(n) k 一明究=+如,k= dx,p>O的敛散性 X'+ sin x 解:对于五 sin x 在0点x→0·(+smx(”+x14xm,p21 sin x p<1p<3/2→p<1 dx收敛 p≥1,p<2→1≤p<2 在+∞点:x→∞xP+smx dx收敛 SIn x 2(x+1k lbx P2+h女发散 结论:1>p>1,Jx收敛其他情形发散 sin x 对于在0点:x→>0+ P P+sin x)(xP+x)I ≥1 SIn x sin x 1, dx收敛;,p≥1 dx收敛 P+sn x +sin x 第七章定积分
第七章 定积分 第七章 定积分 + = − 1 1 1 dx x x J = − →+ n n dx x x 1 1 1 lim = − = →+ − = + →+ + = − − 1 1 1 1 1 1 ln 1 lim 1 1 lim n k n n k k k n k k k dx x x = ( ) − − = → 1 1 ln 1 lim n k n n k . 4, 一研究 ( ) + + = 0 2 1 sin sin dx x x x x I p p , + + = 0 2 sin sin dx x x x I p , p>0 的敛散性. 解：对于 I1: 在 0 点： ( ) ( ) ( ) + + → − − − − + , 1 , 1 ~ ~ sin sin 0 , ( 1) 2 2 2 2 Ax p x p x x x x x x x x x p p p p p p ; p 1, p 3 2 p 1, ( ) + 1 0 2 sin sin dx x x x x p p 收敛 p 1, p 2 1 p 2 在 + 点： ( ) ( ) p p p p x x x x x x x 1 1 sin sin , 2 − + → + 2 1 p , ( ) + + 1 2 sin sin dx x x x x p p 收敛； ( ) ( ) ( ) p p p p p p x x x x x x x x x x sin sin 1 sin 2 1 1 cos2 2 2 + + = + − , 2 1 p , ( ) + + 1 2 sin sin dx x x x x p p 发散. 结论： 2 1 1 p , ( ) + + 0 2 sin sin dx x x x x p p 收敛. 其他情形发散。 对于 I2: 在 0 点： ( ) ( ) ( ) + + → − − − − + , 1 , 1 ~ ~ sin sin 0 , ( 1) 1 x p x p x x x x x x x p p p ; p 1, ( ) + 1 0 sin sin dx x x x p 收敛；, p 1, ( ) + 1 0 sin sin dx x x x p 收敛
第七章定积分 sIn x dx收敛 SIn x 在+∞点: sIn x SIn x xP+sin x xP x+sin xxp x→>∞p>0, sin x dx收敛 5x)收敛 I sd dx发散 P+sin x 结论:p720(x2+smnx) sin Adx收敛.其他情形发散 或者用另一种做法: sin x Sin x x tsin x 1+sin ro/Isn x sin x sin x 5,设f(-2+∞)→R,在任何有限区间可积,且有lmf(x)=A 证明,t,I()=∫((x+0)-f(x)x=0 证明:「((x+1)-f(x)x=「f(x+1)dx-f(x)d If(x)dx-f(x)dx=If(x)dx-If(x)dx =(x)+4-4)x-(x)+4-4 第七章定积分
第七章 定积分 第七章 定积分 p , ( ) + 1 0 sin sin dx x x x p 收敛; 在 + 点： ( ) p p p p x x x x x x x x x sin sin sin sin sin 2 + = − + + x → + 1 sin 0, dx x x p p 收敛 2 1 p , ( ) + + 1 sin sin dx x x x p 收敛 2 1 p , ( ) + + 1 sin sin dx x x x p 发散. 结论： 2 1 p , ( ) + + 0 sin sin dx x x x p 收敛. 其他情形发散。 或者用另一种做法： p p p x x x x x x x 1 sin sin sin sin + = + = − + p p p x x o x x x x sin sin 1 sin = − + p p p x x o x x x x 2 2 2 2 sin sin sin 5, 设 f :(− ,+)→ R,在任何有限区间可积，且有 f x A x = → lim ( ) , 证明,t , ( ) = ( ( + ) − ( )) = 0 + − I t f x t f x dx . 证明： ( ) + − = + − b a b a b a f (x t) f (x) dx f (x t)dx f (x)dx = + + + + − = − a t a b t b b a b t a t f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx = ( ) ( ) + + + − − + − a t a b t b f (x) A A dx f (x) A A dx
第七章定积分 =A-4+j0(x)-4-j0(x)-4 j0-k-10(-2→0 第七章定积分
第七章 定积分 第七章 定积分 = ( ) ( ) + + − + − − − a t a b t b At At f (x) A dx f (x) A dx = ( ) ( ) + + − − − a t a b t b f (x) A dx f (x) A dx 0 ⎯a⎯,b→⎯+→