清华大学：《微积分》课程教学资源_第七章（第二十讲）广义积分（课后作业）

第七章定积分 第七章定积分 (The definite integration 7-1定积分概念与性质 7-2可积性与可积函数类 63 Newton- Leibniz公式 7-4定积分的计算方法 7-5定积分的应用 7-6广义积分 7-6-1在无穷区间上的广义积分 7-6-2在无穷区间上的广义积分 第二十讲广义积分 课后作业: 阅读:第七章78:pp.296--310 预习: 练习pp.311-312:习题78 全部复习题,习题1,(1),(4);2,(1)3); 作业:pp311-312:习题78 习题1,(2),(3),(5);2,(2)4) 3,(1);4(1),(2) 本次作业 练习pp.31-312:习题78 全部复习题,习题1,(6);2,(5),(6); 作业:pp.311-312:习题78 习题1,(7)8);2,(7),(8) 7-6广义积分 7-6-1在无穷区间上的广义积分 (一)定义和性质 A)定义:设∫:[a,+∞)→>R,且V[a,b]c[a,+∞),函数∫可积,若极限 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 第七章 定积分 ( The definite integration ) 7-1 定积分概念与性质 7-2 可积性与可积函数类 6-3 Newton－Leibniz 公式 7-4 定积分的计算方法 7-5 定积分的应用 7-6 广义积分 7-6-1 在无穷区间上的广义积分 7-6-2 在无穷区间上的广义积分 第二十讲 广义积分 课后作业： 阅读：第七章 7.8: pp. 296---310 预习： 练习 pp.311---312: 习题 7.8 全部复习题，习题 1,(1), (4); 2,(1),(3); 作业: pp.311---312: 习题 7.8 习题 1,(2),(3),(5); 2,(2),(4); 3,(1);4(1),(2) 本次作业 练习 pp.311---312: 习题 7.8 全部复习题，习题 1,(6); 2,(5),(6); 作业: pp.311---312: 习题 7.8 习题 1,(7),(8); 2,(7),(8); 7-6 广义积分 7-6-1 在无穷区间上的广义积分 (一) 定义和性质 A) 定义：设 f :[a,+) → R , 且 [a,b]  [a,+) , 函数 f 可积, 若极限

第七章定积分 nJ(xt=」fxh 存在,则称广义积分∫f(x)d收敛,或称f(x)在[a+∞)上可积,其积分值为 该极限值。否则称之为发散。 例 d x= lim b→+∞ b++(1-p b ∞,P 例二,hxh=mn∫血d=lm|xhx-∫d =lim(bhb-(b-1)=∞ 例三, jCosxdx= limCosxdx=hm(mb) 例四,x(-gSm(a)=mJx(- Sgn(Sin(m)女 如(S=6-9(a)k+1x(-m)女 =im(0+0)=0 注;无穷区间(-∞,b)上的积分定义为: f(x )dx=lim I f(x)dx 无穷区间(-∞,+∞)上的积分定义为 f(x)ax= lim f(x)dx+ lim f(x)dx 例五:edx= lim edx+ lim edx 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分   + →+ = a b a b lim f (x)dx f (x)dx 存在，则称广义积分  + a f (x)dx 收敛，或称 f (x) 在 [a,+) 上可积, 其积分值为 该极限值。否则称之为发散。 例一，          − − = = − →+ →+ +   1 1 1 1 lim 1 lim 1 1 1 1 p b b p b p p b dx x dx x      −  =  + , 1 1 1, 1 1 p p dx x p . 例二，         = = −    →+ →+ + b b b b b xdx xdx x x dx 1 1 1 1 ln lim ln lim ln = ( − ( − )) =  →+ lim bln b b 1 b 例三， Cosxdx Cosxdx (Sinb) b b b→+ →+ + = =   lim lim 0 0 例四， ( ( ( )))  + − 0 2 x 1 Sgn Sin x dx = ( ( ( )))  − →+ b b x Sgn Sin x dx 0 2 lim 1  = ( ( ( )))   ( ( ( )))   lim ( 1 1 ) 2 1 1 2    − + − = − →+ x b b n n n b x Sgn Sin x dx x Sgn Sin x dx = lim (0 + 0) = 0 b→+ . 注； 无穷区间 (−, b) 上的积分定义为：   →− − = b a a b f (x)dx lim f (x)dx 无穷区间 (−, + ) 上的积分定义为：    →− →+ + − = + b c b c a a f (x)dx lim f (x)dx lim f (x)dx . 例五:    − →+ − →− + − − = + b x b a x a x e dx e dx e dx 0 0 lim lim = lim ( −1)+ lim ( −1) − →+ − →− b b a a e e . 发散

第七章定积分 注意:「f(x)dtx≠lmn「f(x)d 因为对任何奇函数都有: f(x)dx=lm f(x)dr= lim(o)=0 C→+ B)性质:设∫,g:[a,b)→>R,可积。 1)若|f(1)d和「g(dt收敛,则 a(+k()h=a(0+ 2) Cauchy收敛原理: f(x)d收敛VE>0,3M>0,Vb,b2>M,f(x)dsE 3)若f:[a+∞)→R,f(x)≥0,F(x)=f()t则 F(x)在[a+∞)中有上界台「f(x)dtx收敛 证明:因为F(x)=「f()单调增有上界 推论比较收敛法则:若∫,g:[a+∞)→R,f(x)≥g(x),则 (1)|f(x)x收敛→|g(x)dt收敛 2)g(x)女发散→|f(x)d发散 4)设f{+)→R,若f(x)女收敛,则 f(x)收敛,且f(x)sf(x)r 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 注意:   − →+ + −  c c c f (x)dx lim f (x)dx . 因为对任何奇函数都有： ( ) = lim ( ) = lim (0) = 0 →+ − →+ + −   c c c c f x dx f x dx B) 性质：设 f , g :[a,b) → R, 可积。 1) 若  + a f (t)dt 和  + a g(t)dt 收敛, 则 ( )    + + + + = + a a a f (t) g(t) dt  f (t)dt  g(t)dt . 2) Cauchy 收敛原理:  + a f (x)dx 收敛    0, M  0 ,      2 1 , , ( ) 1 2 b b b b M f x dx . 3) 若 f :[a,+) → R , f (x)  0 ,  = x a F(x) f (t)dt 则 F(x) 在 [a,+) 中有上界   + a f (x)dx 收敛. 证明：因为  = x a F(x) f (t)dt 单调增有上界。 推论 比较收敛法则: 若 g a + → R+ f , :[ , ) , f (x)  g(x), 则 (1)  + a f (x)dx 收敛   + a g(x)dx 收敛. (2)  + a g(x)dx 发散   + a f (x)dx 发散. 4) 设 f :[a,+) → R ，若  + a f (x) dx 收敛，则  + a f (x)dx 收敛, 且   + +  a a f (x)dx f (x) dx

第七章定积分 注意:由∫/(x)收敛不能推出j1x)女收敛 若∫(x)收敛,则称∫(x)d女绝对收敛 若f(x)收敛而「f(x)x发散,则称f(x)x条件收斂 5)关于乘积函数广义积分的收敛性结论 A)设f,g:{a+x)→R,g有界,∫不变号(x)收敛,则 f(x)·g(x)x收敛,且彐,「f(x):g(x)dx=|g(x)dr 证明1:利用收敛原理,设m≤g(x)≤M,f(x)≥0 首先:m2∫f(x)≤「f(x)g(x)d≤M2∫f(x)h 其次V20320.>B. E≤|f(x)g(x)lx≤E (x)·g(x)dx收敛 最后,由mJ「f(x)≤∫f(xg(x)k≤sMJf(x)h 令4=|f(x)g(x)/f(x)x,从而有: f(x)(x)tk=「f(x)a 证明2,利用比较判敛证「f(x)8(x)的收敛性 x∈[a+∞),|f(x)g(x)≤Mgf(x) 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 注意：由  + a f (x)dx 收敛不能推出  + a f (x) dx 收敛, 若  + a f (x) dx 收敛, 则称  + a f (x)dx 绝对收敛; 若  + a f (x)dx 收敛而  + a f (x) dx 发散, 则称  + a f (x)dx 条件收敛. 5) 关于乘积函数广义积分的收敛性结论： A) 设 f , g :[a,+) → R , g 有界, f 不变号  + a f (x)dx 收敛，则  +  a f (x) g(x)dx 收敛, 且  ,   + +  = a a f (x) g(x)dx  g(x)dx 。 证明 1：利用收敛原理, 设 g M g m  g(x)  , f (x)  0 . 首先：      2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) b b g b b b b mg f x dx f x g x dx M f x dx . 其次，   0, B  0 , b1 ,b2  B , g b b M f x dx    2 1 ( ) ,  −      2 1 ( ) ( ) b b f x g x dx   +  a f (x) g(x)dx 收敛. 最后，由    + + +   a g a a mg f (x)dx f (x)g(x)dx M f (x)dx , 令   + + = a a  f (x)g(x)dx f (x)dx , 从而有：   + + = a a f (x)g(x)dx  f (x)dx . 证明 2, 利用比较判敛证  +  a f (x) g(x)dx 的收敛性: x [a,+), f (x)g(x) M f (x)  g

第七章定积分 ∫M4f(x)收敛→∫f(x)g(x)(绝对收敛 B)设f,g:[a,+∞)→>R,g(x)单调且lmng(x)=0,又 F(x)=「f()dt有界,则「f(x)g(x)x收敛。 这要利用第二中值定理,有兴趣者可看有关参考书。 6)设g∈Ca+∞)有界,∫f(x收敛,且f(x)在[a+∞)上不变号 则有中值定理:j(x)·g(x)=g()(x),5∈+∞) (二)判敛准则 1)比阶收敛法则: 若∫g{ab)→R,lmf(x) =c(包括∞),则 +g(x) ()若c>0J(x)d收敛→∫(x)收敛 (2)若0≤c<+∞,f(x)dx发散→|g(x)ax发散 A 特别是:当x→+∞时,f(x)~-,则 (1)若p>1,f(x)收敛 (2)若0<p<1,f(x)x发散 (三)判敛举例 例入研究了哑k,了x么了 dx,(p>0)的敛散性 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分  +  a M g f (x)dx 收敛   +  a f (x) g(x)dx (绝对)收敛 B) 设 f , g :[a,+) → R , g(x) 单调且 lim ( ) = 0 →+ g x x , 又  = x a F(x) f (t)dt 有界， 则  +  a f (x) g(x)dx 收敛。 这要利用第二中值定理，有兴趣者可看有关参考书。 6) 设 g C([a,+)),有界,  + a f (x)dx 收敛，且 f (x) 在 [a,+) 上不变号, 则有中值定理：  =    + + a a f (x) g(x)dx g() f (x)dx ,  [a,+) . (二）判敛准则 1) 比阶收敛法则: ⚫ 若 g a b → R+ f , :[ , ) , c g x f x x = →+ ( ) ( ) lim (包括  ), 则 (1) 若 c  0 ,  + a f (x)dx 收敛   + a g(x)dx 收敛. (2) 若 0  c  +,  + a f (x)dx 发散   + a g(x)dx 发散. 特别是: 当 x → + 时, p x A f (x) ~ , 则： (1) 若 p  1,  + a f (x)dx 收敛. (2) 若 0  p  1,  + a f (x)dx 发散. (三）判敛举例 例六, 研究 dx x Sinx  + 0 , dx x Sin x  + 0 2 , , ( 0) 1   + dx p x Sinx p 的敛散性。 1) dx x Sinx  + 0 收敛: