第二章多元函数微分学 第二章第五节 微分学在几何方面的应用及多元函数的 Taylor公式 课后作业 阅读:第二章第四节43:pp56--58;第五节5.2:pp.60-63 预习:第二章第五节52:pp.60--63 作业:第二章习题4:pp.59-60 6,(3),(5);7,(1),(2);8;10;12;13. 补充:,求函数f(x,y)=1-x2-y2在00)点的二阶带 格伦日余项的 Taylor公式 2,求函数f(x,y)=x32+y3+z3-3xy=在P(1)点的 三阶带拉格伦日余项的 Taylor公式 第六讲微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式 2-5-1空间曲线和曲面的光滑性 (1)空间曲线的切线 设C是R3空间中的一条曲线, 其参数方程( parameter equation 为y=y(1)(a≤t≤B 二=(1) 若记F=(x,y,二) 曲线C的参数方程又可以写作 F=f(t)=(x()y(o)x()y;(a≤t≤B 当参数t表示时间时,上述方程组或向量函数可以看成表示的是质 点的运动规律;这时曲线C表示的就是质点的运动轨迹 设P(x,y0,二0)=P(x(t)y(n)=()为曲线C上的一点,在C上任 取另外一点Q(x(),y(t),z(1)),过P,Q两点作割线PQ,则此割线 的一个方向向量为 (n)=(x0)-x)uo)-yn)=0)-=() 如果函数x=x(1),y=y(1),x=()都在t=1o处可导,那么 当t→to时,向量v,t0)就趋向于极限向量v(to) v(t0)=lmv(,)=P(n)=(x(n)y(0),z(n0) 当x(t0)2+y(to)2+(10)2≠0时 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式
第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 第二章 第五节 微分学在几何方面的应用及多元函数的 Taylor 公式 课后作业： 阅读：第二章 第四节 4.3 : pp. 56---58; 第五节 5.2: pp. 60---63 预习：第二章第五节 5.2: pp. 60---63 作业: 第二章 习题 4: pp. 59---60 : 6, (3), (5); 7, (1), (2) ; 8; 10; 12; 13. 补充：1, 求函数 2 2 f (x, y) = 1− x − y 在 (0,0) 点的二阶带 格伦日余项的 Taylor 公式。 2, 求函数 f (x, y) x y z 3xyz 3 3 3 = + + − 在 P(1,1,1) 点的 三阶带拉格伦日余项的 Taylor 公式。 第六讲 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 2-5-1 空间曲线和曲面的光滑性 (1) 空间曲线的切线 设 C 是 R 3 空间中的一条曲线， 其参数方程 (parameter equation) 为 ( ) ( ) ( ) ( ) = = = t z z t y y t x x t 若记 T r = (x, y,z) ， 则曲线 C 的参数方程又可以写作 r = r(t) = (x(t) y(t) z(t)) ; ( t ) T 当参数 t 表示时间时，上述方程组或向量函数可以看成表示的是质 点的运动规律；这时曲线 C 表示的就是质点的运动轨迹. 设 ( ( ) ( ) ( )) 0 0 0 0 0 ( , , ) , , 0 P x y z = P x t y t z t 为曲线 C 上的一点，在 C 上任 取另外一点 Q(x(t ), y(t ),z(t ))，过 P,Q 两点作割线 PQ , 则此割线 的一个方向向量为 ( ) ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( 0 0 0 0 0 0 0 t t z t z t t t y t y t t t x t x t v t t − − − − − − = 如果函数 x = x(t), y = y(t),z = z(t) 都在 t = t0 处可导，那么 当 t →t0 时，向量 ( ) 0 v t,t 就趋向于极限向量 ( ) 0 v t ( ) ( ) T t t v t lim v t,t r (t ) (x (t ), y (t ),z (t )) 0 0 0 0 0 0 0 = = = → 当 ( ) ( ) ( ) 0 2 0 2 0 2 x t0 + y t + z t 时
第二章多元函数微分学 则称非零向量v(n)=r()=(x(t0,y(0,=(n)为曲线C在点P 处的切向量( tangent vector) 经过点P并且以v()为方向向量的直线称为曲线C在点P处的切 线( tangent line),其参数方程是 x=x0+x'(t0)(t-10) x=y0+y(10Xt-t0) 二=z0+(10)(t-t0) 另外,过点P并且垂直于曲线C在该点切线的平面称为曲线C在 点P处的法平面( normal plane),它的(点法式)方程为 x(10x-xo)+y(oy-y)+=(o(z-=0)=0 例1求螺线{y=asnt:(a>0,c>0) C 在点M(a,a,)处的切线与法平面 解由于点M对应的参数为to=z,所以螺线在M处的切向量是 v=(x()y(z,x(z)=(=g,g,c) 2 因而所求切线的参数方程为{=+三 法平面方程为 2(x-)+2(”-)+=-4=0 空间曲线还可以看作是两张空间曲面的交线,因此,从方程形式上 讲,曲线除了具有参数方程外,还具有一般方程(隐函数形式),关于 曲线的一般方程将在稍后再作详细讨论 (2)空间曲面的切平面 (A)空间曲面的三种表示: 显函数表示: f(x,y) 隐函数表示 F(x,y,)=0 参数方程表示:双参数 x=r(u, y=yu, v) 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式
第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 则称非零向量 ( ) ( ) T v t r (t ) x (t ), y (t ),z (t ) 0 0 0 0 0 = = 为曲线 C 在点 P 处的切向量(tangent vector). 经过点 P 并且以 ( ) 0 v t 为方向向量的直线称为曲线 C 在点 P 处的切 线(tangent line)，其参数方程是 = + − = + − = + − ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z z z t t t x y y t t t x x x t t t 另外，过点 P 并且垂直于曲线 C 在该点切线的平面称为曲线 C 在 点 P 处的法平面(normal plane)，它的（点法式）方程为 ( )( ) ( )( ) ( 0 )( 0 ) 0 0 0 0 0 x t x − x + y t y − y + z t z − z = 例 1 求螺线 = = = z ct y a t x a t sin cos ； (a 0,c 0) 在点 ) 4 , 2 , 2 ( a a c M 处的切线与法平面. 解 由于点 M 对应的参数为 4 0 t = ，所以螺线在 M 处的切向量是 , ) 2 , 2 )) ( 4 ), ( 4 ), ( 4 ( ( c a a v x y z − = = 因而所求切线的参数方程为 = + = + = − , 4 , 2 2 , 2 2 z c ct t a a y t a a x 法平面方程为 ) 0 4 ) ( 2 ( 2 ) 2 ( 2 − − + − + c z − c = a y a a x a . 空间曲线还可以看作是两张空间曲面的交线，因此，从方程形式上 讲，曲线除了具有参数方程外，还具有一般方程（隐函数形式）,关于 曲线的一般方程将在稍后再作详细讨论. (2) 空间曲面的切平面 (A) 空间曲面的三种表示： ⚫ 显函数表示： z = f (x, y) ⚫ 隐函数表示: F(x, y,z) = 0 ⚫ 参数方程表示: 双参数 ( ) ( ) ( ) = = = z z u v y y u v x x u v , ,
第二章多元函数微分学 (B)空间曲面的切平面: 下面讨论两个问题 其一,曲面在一点的切平面是如何定义的? 其二,如何求曲面上在一点的切平面方程 定义设S是一张空间曲面,P是S上的一点,若所有过P且在 曲面S上的曲线在P处的切线共面,则称此平面为曲面S在P处 的切平面( tangent plane);过P且与切平面垂直的直线称为曲面 S在P处的法线( normal line) 切平面的定义可以有好几种,我们之所以用这一定义,是因为,这 是根据曲面的固有性质,与其方程形式没有关系 而且这样有利于对一般空间推广得到所谓切空间的概念 另外,还有一种较好的定义:设S是一张空间曲面,M是S上的 点,丌是过M点的一张平面,曲面S上任一点Q到平面的距离为 d(Q),若Q→M时,山Q)=opM,则称此平面为曲面S在M处 的切平面 (i)切平面的方程 首先讨论:如果曲面S的切平面的存在,其切平面的方程是什么? 显然,这与曲面的方程表示有关 若曲面S由显函数表示z=f(x,y) 因为,所有在曲面S上过Px,y)的曲线在P处的切线都在切平面 =0 丌上→曲线C={y=y和C2={y=0的切线在x上 z=f(x,y) :=f(, y) 平面丌的法向 =lx12=0 ar(x,y)ar(x,y)o(x afrl →曲面S过P(x0,y0)切平面方程: af(xo, yol(x af(o )+0(y-yn) 其中,z0=f(x0,y) 法线方程是 y-yo (x0,y0)-a/(x0,y0) 接着要研究:函数满足什么条件时,其切平面存在? 若曲面S由显函数表示z=f(x,y)在点p(x,y)可微,则曲面S 在点p(xa,y0)有不平行z轴的切平面 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式
第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 (B)空间曲面的切平面： 下面讨论两个问题: 其一, 曲面在一点的切平面是如何定义的？ 其二, 如何求曲面上在一点的切平面方程？ ⚫ 定义 设 S 是一张空间曲面， P 是 S 上的一点，若所有过 P 且在 曲面 S 上的曲线在 P 处的切线共面，则称此平面为曲面 S 在 P 处 的切平面(tangent plane)；过 P 且与切平面垂直的直线称为曲面 S 在 P 处的法线(normal line). 切平面的定义可以有好几种，我们之所以用这一定义，是因为，这 是根据曲面的固有性质，与其方程形式没有关系. 而且这样有利于对一般空间推广得到所谓切空间的概念。 另外，还有一种较好的定义：设 S 是一张空间曲面， M 是 S 上的 一点， 是过 M 点的一张平面, 曲面 S 上任一点 Q 到平面的距离为 d(Q), 若 Q → M 时， d(Q)= o(QM ), 则称此平面为曲面 S 在 M 处 的切平面 (i) 切平面的方程 首先讨论：如果曲面 S 的切平面的存在，其切平面的方程是什么？ 显然，这与曲面的方程表示有关。 若曲面 S 由显函数表示 z = f (x, y)： 因为，所有在曲面 S 上过 P(x, y) 的曲线在 P 处的切线都在切平面 上 曲线 ( ) = = = = z f x y y y x C , 0 1 和 ( ) = = = = z f x y y x x C , 2 0 的切线在 上 平面 的法向: ( ) ( ) ( ) ( ) − = = = 1 , , , 1 0 , 1 2 0 1 y f x y x f x y x f x y y f x y i j k n l l 曲面 S 过 ( ) 0 0 0 P x , y 切平面方程: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , y y y f x y x x x f x y z z − − + = + , 其中， ( ) 0 0 0 z = f x , y 法线方程是 ( , ) ( , ) 1 0 0 0 0 0 0 0 − − = − = − z z y f x y y y x f x y x x 接着要研究：函数满足什么条件时，其切平面存在？ 若曲面 S 由显函数表示 z = f (x, y) 在点 ( ) 0 0 p x , y 可微, 则曲面 S 在点 ( ) 0 0 p x , y 有不平行 z 轴的切平面
第二章多元函数微分学 x(t0) 证:若曲线L:{y=y)是曲面S上过点P=|y =f(x()y() 0)(=(n) 其中=0=f(x()y(0)的光滑曲线,即函数x()y()在t0可导。 现在要证明,此曲线L过P的切线在平面丌 9(cn(-x)+91x,y1-y)-(-)=0 上。其法线方向是:成()= af(p) a(p) 事实上,曲线L在P处的切线向量是 f()=|x)yt) af(p) f( ax x(o)+y(o 显然有:成(t0)(t0)=0→()⊥r() 即:曲线L过P的切线在平面丌。上 实际上,函数表示z=f(x,y)在点p(xny0)可微是曲面S在点 p(x0,y0)有不平行z轴的切平面的充分必要条件。 (ii)用隐函数和参数方程表示的曲面S的切平面方程: 若曲面S由隐函数F(x,y2)=0表示, 过P的曲线为:{y=y()→F(()y()()=0, ( 两边求微分: aF(x,y.2)d(0)+ d()+2(xy:) (t)=0 x()+-y()+-()=0 →n aF(x,y, = )aF(x,y, =)aF(x,y, 3) →曲面S过(x0,y0=0)切平面方程 ∂F(x0,y0,=0 xo)+ Vo ∂F(x0,y0, 0)=0 法线方程是:a(n,0,-=a(x,)=F(元,1n, 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式
第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 证：若曲线 L : ( ) ( ) ( ( ) ( )) = = = z f x t y t y y t x x t , 是曲面 S 上过点 ( ) ( ) ( ) = 0 0 0 0 0 0 z t y t x t z y x P , 其中 ( ( ) ( )) 0 0 0 z = f x t , y t 的光滑曲线, 即函数 x(t), y(t) 在 0 t 可导。 现在要证明，此曲线 L 过 P 的切线在平面 p : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , 0 0 0 0 0 0 − − − = − + y y z z y f x y x x x f x y 上。其法线方向是： ( ) ( ) ( ) − 0 = 1 y f p x f p n t 事实上，曲线 L 在 P 处的切线向量是: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = 0 0 0 0 0 y t y f p x t x f p t x t y t . 显然有: n(t 0 ) (t 0 ) = 0 ( ) ( ) 0 0 n t t ⊥ , 即：曲线 L 过 P 的切线在平面 p 上。 实际上，函数表示 z = f (x, y) 在点 ( ) 0 0 p x , y 可微是 曲面 S 在点 ( ) 0 0 p x , y 有不平行 z 轴的切平面的充分必要条件。 (ii) 用隐函数和参数方程表示的曲面 S 的切平面方程： ⚫ 若曲面 S 由隐函数 F(x, y,z) = 0 表示, 过 P 的曲线为： ( ) ( ) ( ) = = = z z t y y t x x t F(x(t), y(t),z(t)) 0, 两边求微分： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , , , + + dz t x F x y z dy t x F x y z dx t x F x y z ( ) ( ) ( ) = 0 + + z t x F y t x F x t x F ( ) ( ) ( ) = z F x y z y F x y z x F x y z n , , , , , , 曲面 S 过 ( ) 0 0, 0 x , y z 切平面方程 ( ) ( ) ( ) ( − )+ − + 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , y y y F x y z x x x F x y z ( ) ( ) 0 , , 0 0 0 0 − = + z z z F x y z 法线方程是: ( ) ( ) ( ) z F x y z z z y F x y z y y x F x y z x x − = − = − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , ,
第二章多元函数微分学 aF(Mo) aE y=yo t OF(Mo) 另外,设在M0(x02y0,=0)有 radF(M0)≠0,即三个偏导数 OF(Mo) aF(Mo OF(Mo 中至少 有一个不为零时,不妨设(MD≠0,这时由隐函数定理可以推出在 (x0,yo)的某个邻域U中唯一地定义了一个函数z=f(x,y),满足 z0=f(x,y)F(x,y,f(x,y)≡0(x,y)∈U/),由隐函数微分法得 g(o,yo) OF(Mo)/OF(Mo) ax g(xo,yo)-0F(Mo)/F(Mo 这时可以利用了函数显示表示下切平面的结果推达上述结论。 =x(s, t) 若曲面S由参数方程{y=ys,1)(s,1)∈DsR2表示 若记F=(x,y,z),则上式的向量形式为 r=r(s, t=(x(s, O),y(s, 0),=(s, t)) 设M0(x0,y,2z0)=(x(o,.0y(t,so)=(t,so)是S上的一点,当 固定1=0时,方程{y=y(s,l0)确定了曲面S上的一条曲线, z=二(S 它在M。处的切向量是 ax(so, to)Oy(so, t,)0:so, to) s s s x(so, t) 同样地,方程{y=y(s0,)确定了曲面S上的另一条曲线,它在 点M0处的切向量是 dx(so, to)ay(so, to)d=So, to) ) t t t 若这两个向量不共线的条件下,曲面S在M0处的法向量是 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式
第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 或 = + = + = + t z F M z z t y F M y y t x F M x x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 另外，设在 ( ) 0 0 0 0 M x , y ,z 有 gradF(M 0 ) 0 ，即三个偏导数 z F M y F M x F M ( ) , ( ) , ( )0 0 0 中至少 有一个不为零时，不妨设 0 ( )0 z F M ，这时由隐函数定理可以推出在 ( , ) 0 0 x y 的某个邻域 U 中唯一地定义了一个函数 z = f (x, y) ，满足 ( , ), ( , , ( , )) 0 (( , ) ) z0 = f x0 y0 F x y f x y x y U , 由隐函数微分法得 z F M x F M x f x y ( , ) ( ) ( ) 0 0 0 0 = − , z F M y F M y f x y ( , ) ( ) ( ) 0 0 0 0 = − 这时可以利用了函数显示表示下切平面的结果推达上述结论。 ⚫ 若曲面 S 由参数方程 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) s t D R z z s t y y s t x x s t = = = 表示 若记 T r = (x, y,z) ，则上式的向量形式为 T r = r(s,t) = (x(s,t), y(s,t),z(s,t)) 设 ( , , ) ( ( , ), ( , ), ( , )) M0 x0 y0 z0 = x t0 s0 y t0 s0 z t0 s0 是 S 上的一点，当 固定 t=t0 时，方程 = = = ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 z z s t y y s t x x s t 确定了曲面 S 上的一条曲线， 它在 M 0 处的切向量是 T s z s t s y s t s x s t v ) ( , ) , ( , ) , ( , ) ( 0 0 0 0 0 0 1 = 同样地，方程 = = = ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 z z s t y y s t x x s t 确定了曲面 S 上的另一条曲线，它在 点 M0 处的切向量是 T t z s t t y s t t x s t v ) ( , ) , ( , ) , ( , ) ( 0 0 0 0 0 0 2 = 若这两个向量不共线的条件下，曲面 S 在 M0 处的法向量是