清华大学：《微积分》课程教学资源_第二章 多元函数微分学（2.2）偏导数与全微分（课后作业）

第二章多元函数 第二章多元函数微分学 第二节偏导数与全微分 2-1偏导数定义与计算 2-2多元函数的微分 2-3微分的几何意义 序 班级 助教姓名助教住址助教电话 自21,自22,电机系(7), 计算机科学系(3),医学院(6) 张靖|22-412 13661167656 自23,自24,其他系(15)张李军20-309 62775074 自25,自26,自27 陈明|11-15 62776447 13520608666 第三讲偏导数与全微分 课后作业: 复习阅读:第一章pp.01-21,己在代数中学,请抽时间复习。 阅读:第二章第二节:pp.29-38 预习:第二章第二节:pp.40--49 作业:第二章习题2:pp39--40:1,(2),(5),(6),(7);2,(2)(3),(5); 4,(2);5,(2),(4),(6);6;7. 第三讲多元函数的偏导数与全微分 2-1偏导数定义与计算 以下讨论,不作特别声明,均以二元函数 ∫:DcR2→R,z=f(x,y).为对象 (-)多元函数偏导数定义: )定义:若对P(,),极限面(+Axn)/(n, 存在,则称此极限值为∫在P点关于(对)x的偏导数, (x,12,或f(x0,y) 记成,ax 第二章多元函数

第二章 多元函数 第二章 多元函数 1 第二章 多元函数微分学 第二节 偏导数与全微分 2-1 偏导数定义与计算 2-2 多元函数的微分 2-3 微分的几何意义 序 班 级 助教姓名 助教住址 助教电话 1 自 21, 自 22, 电机系(7)， 计算机科学系(3)，医学院(6) 张 靖 22--412 62776299 13661167656 2 自 23, 自 24, 其他系(15) 张李军 20--309 62775074 3 自 25, 自 26, 自 27 陈 明 11--115 62776447 13520608666 第三讲 偏导数与全微分 课后作业： 复习阅读：第一章 pp. 01---21, 己在代数中学，请抽时间复习。 阅读：第二章 第二节 : pp. 29----38 预习：第二章 第二节 : pp. 40---49 作业: 第二章 习题 2: pp.39---40 : 1,(2), (5), (6), (7); 2, (2), (3), (5); 4, (2); 5, (2), (4), (6); 6; 7. 第三讲 多元函数的偏导数与全微分 2-1 偏导数定义与计算 以下讨论，不作特别声明，均以二元函数 f D  R → R 2 : , z = f (x, y), 为对象 (-)多元函数偏导数定义： (1) 定义: 若对 ( ) 0 0 0 P x , y , 极限 ( ) x f x x y f x y x  +  −  → , ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称此极限值为 f 在 P0 点关于(对) x 的偏导数, 记成, ( ) x f x y   0 0 , , 或 ( ) 0 0 f x , y x 

第二章多元函数 同样可定义:若lm(xn,y+△y)-/(x,) 存在,则称此 极限值为厂在P点关于(对)y的偏导数,记成,(n,),或 flo,yo) D 存在,称之为关于(对)x偏导函数,简称关 于()x偏导数,()存在,称之为关于(对)y偏导函数简称关 o) 于(对)y偏导数 ●计算举例 x ay x ●高阶偏导数 (A)定义 称为对x的二阶偏导数 a2f aaf 称为(对x和y的)二阶混合偏导数 axay ax ay 类似可定义其他高阶混合偏导数 (B)混合偏导数中求导次序的影响: 定理:若二阶混合偏导数连续,则与求导次序无关,即: axon 证明: af(r,y)a(ar(x,,)_in S (+Ax, y)-S'x Ax lim lim f(x+Ax,y+ Ay)-f(xAx, y)-f(x, y+Ay)+f(x,y) 第二章多元函数

第二章 多元函数 第二章 多元函数 2 同样可定义：若 ( ) y f x y y f x y y  +  −  → , ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称此 极限值为 f 在 P0 点关于(对) y 的偏导数,记成, ( ) y f x y   0 0 , , 或 ( ) 0 0 f x , y y  . D y x          , ( ) x f x y   , 存在，称之为关于(对) x 偏导函数,简称关 于(对) x 偏导数； ( ) y f x y   , 存在，称之为关于(对) y 偏导函数,简称关 于(对) y 偏导数. ⚫ 计算举例 : x y z =  y x z 1 =   , z x y =   , 2 z y z x = −    1 1 2  = −      − =           z y z z x x x y y z ⚫ 高阶偏导数 (A) 定义：           =   x f x x f : 2 2 , 称为对 x 的二阶偏导数;             =    y f x y x f : 2 称为(对 x 和 y 的)二阶混合偏导数; 类似可定义其他高阶混合偏导数. (B) 混合偏导数中求导次序的影响： 定理：若二阶混合偏导数 x y f    2 连续，则与求导次序无关, 即： y x f x y f    =    2 2 . 证明： ( ) ( )             =    y f x y x y x f x, y , 2 = ( ) ( ) x f x x y f x y y y x   +  −   → , , lim 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) x y f x x y y f x x y f x y y f x y x y   +  +  − +  − +  +  →  → , , , , lim lim 0 0

第二章多元函数 ar(x, )_a(ar(x, 22)= lim 5(x,+Av-/'(x,y) a yax △ mlmf(x+Axy+Ay)-/(xy+Ay)-/(x+Axy)+/(xy) 其中:f(x+△x,y+△y)-f(x+△x,y)-f(x,y+4y)+f(x,y) =(;(x+△x,y+14y)-f(x,y+24y)y Gr(x+Ax, y)-/(x, y)+o(Ay f(x+O△x,y)xy+o()△y 做不下去了 稍改动一下:令g(x)=f(x,y+Ay)-f(x,y) f(x+△x,y+△y)-f(x+△x,y)-f(x,y+4y)+f(x,y) =g(x+△x)-g(x)=g;(x+61△xx =(/(x+2△xy+Ay)-f(x+1△x,y)Ax =/"(x+Ax,y+024y)Ax G"(x,y)+o(1) =fr(xy)Axy+o()x△y 22多元函数的微分 (一)多元函数全微分的定义 多元函数在P(xn,y0)点的增量 A(xo, yo)=f(xo+Ax, yo +Ay)-f(xo, yo) 多元函数在P(x0,y0)点的(全微分 若∫在U(D)<D有定义,且存在不依赖Ax,4y的A,B使 Af(xo, yo)=AAr+BAy +op) 第二章多元函数

第二章 多元函数 第二章 多元函数 3 ( ) ( )           =    x f x y y x y f x, y , 2 = ( ) ( ) y f x y y f x y x x y   +  −   → , , lim 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) y x f x x y y f x y y f x x y f x y x y   +  +  − +  − +  +  →  → , , , , lim lim 0 0 其中： f (x + x, y + y)− f (x + x, y)− f (x, y + y)+ f (x, y) = (f (x x y y) f (x y y)) y y  +  , + 1 − y  , + 2  = (f (x x y) f (x y) o ) y y  +  , − y  , + (1)  = f (x x y) x y o y yx  +  ,   + (1) 做不下去了！ 稍改动一下：令 g(x) = f (x, y + y)− f (x, y) f (x + x, y + y)− f (x + x, y)− f (x, y + y)+ f (x, y) = g(x x) g(x) g (x x) x +  − =  x +1  = (f (x x y y) f (x x y)) x x  +1 , +  − x  +1 ,  = f (x x y y) y x x  y +1 , + 2   = (f (x y) o ) x y x  y , + (1)   = f (x y) x y o x y yx  ,   + (1)  2-2 多元函数的微分 (一) 多元函数全微分的定义 ⚫ 多元函数在 ( ) 0 0 0 P x , y 点的增量 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f x , y = f x + x, y + y − f x , y ⚫ 多元函数在 ( ) 0 0 0 P x , y 点的(全)微分: 若 f 在 U (P0 )  D 有定义，且存在不依赖 x,y 的 A, B ,使 f (x y ) = Ax + By + o() 0 0

第二章多元函数 则称∫在P(x0,y)点可徽,并称线性函数A△x+B△y为在点的全微分,记成 d(xn,)=AAx+By.其中,p=d2(P,P),P(x,y (二)微分的性质: (1)偏导数存在是可微的必要条件:即 *A(, yo)=AAx+ BAy+o()=d(xo, yo)+o(p) →∫在P(xy0)点偏导数存在 =4,9(x →d(x2,)=9(x2 证明:4(x0,y0)=f(x0+△Ax,y+Ay)-f(x0,y) AAx+BAy+o(p) f(xo+ Ax,yo)-f(xo, yo) AAx+o(Ax) Ar f(xo, yo Ay)-s(xo, yo) BAy+o(Ay)A (2)偏导数连续是可微的充分条件:即 若f,厂在P(,y)点连续→∫在P(x,y)点可微 4(x0,y0)=Ax+BAy+o()=d(x0,y)+o() 且9(x)=A.0(xnyl)=B ff(xo 证明 4(x0,y0)=f(x0+△x,yo+4y)-f(x0,y0)= f(x+Ax, yo+ Ay)-f(xo+Ax, yo)+f(xo+Ax,yo)-f(xo,yo) xo+ +b,△v)v+ f(x,y0Ax+o(△x) 第二章多元函数

第二章 多元函数 第二章 多元函数 4 则称 f 在 ( ) 0 0 0 P x , y 点可微，并称线性函数 Ax + By 为在点的全微分，记成 df (x y ) = Ax + By 0 0 , . 其中， ( ) 2 0  = d P,P , P(x, y) (二) 微分的性质： (1) 偏导数存在是可微的必要条件：即 若 f (x y ) = Ax + By + o() = df (x y )+ o() 0 0 0 0 , ,  f 在 ( ) 0 0 0 P x , y 点偏导数存在, 且 ( ) A x f x y =   0 0 , , ( ) B y f x y =   0 0 ,  ( ) ( ) ( ) y y f x y x x f x y df x y     +   = 0 0 0 0 0 0 , , , . 证明： ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f x , y = f x + x, y + y − f x , y = Ax + By + o() ; ( ) ( ) ( ) A x A x o x x f x x y f x y ⎯⎯x⎯→   +  =  0 +  0 − 0 0  →0 , , ; ( ) ( ) ( ) B y B y o y y f x y y f x y ⎯⎯y⎯→   +  =  0 0 +  − 0 0  →0 , , (2) 偏导数连续是可微的充分条件：即 若 x y f  , f  在 ( ) 0 0 0 P x , y 点连续  f 在 ( ) 0 0 0 P x , y 点可微 f (x y ) = Ax + By + o() = df (x y )+ o() 0 0 0 0 , , , 且 ( ) A x f x y =   0 0 , , ( ) B y f x y =   0 0 ,  ( ) ( ) ( ) y y f x y x x f x y df x y     +   = 0 0 0 0 0 0 , , , 证明： ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f x , y = f x + x, y + y − f x , y = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 f x + x, y + y − f x + x, y + f x + x, y − f x , y = f (x x y y) y f (x y ) x o( x) y  0 +  , 0 +1  + x  0 , 0  + 

第二章多元函数 =C(o, yo)+o(0) Ay+f (xo, yo)Ax+o(Ax) =(;(xo,y0)+0)4y+f(x,y)Ax+o(△x) fr(xo, yo )Ax+f(xo,yoAy+o(0Ay+o0Ax A'lxosyoAx+f(o, yo Ay+o(p) 因为0≤ a(△x)+o(0)y|_p(△x)+o)y (△x)+(4y)2 o(lay √ax)+(→y)y△x)2+(△y o(△x)o(0 (三)R"中函数f:DcR"→R,和向量函数F:DcR"→Rm 微分的定义 R"中函数f:DcR"→R微分的定义: 元∈D,若∫的增量可表示成一个线性函数(x)=∑ax-x) 和高阶无穷小之和,即:△=∑aAx+0() 其中p=d2(-5)=A, 则∫称在x点可微 记d=∑aAx,称为∫在点的微分。 容易推证:若f在元点可微,则必有,a=9(6 从而有y=9(△x+) ∫在x点的微分可写成: 第二章多元函数

第二章 多元函数 第二章 多元函数 5 = (f (x y ) o( )) y f (x y ) x o( x) y  0 , 0 + 1  + x  0 , 0  +  = (f (x y ) o( )) y f (x y ) x o( x) y  0 , 0 + 1  + x  0 , 0  +  = f (x y ) x f (x y ) y o( ) y o( ) x x  0 , 0  + y  0 , 0  + 1  + 1  . = f (x y ) x f (x y ) y o() x  0 , 0  + y  0 , 0  + 因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 0 x y o x o y o x o y  +   +  =  +    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 x y o y x y o x  +   +  +    ( ) ( ) 0 1 ⎯⎯⎯0, ⎯0→   +    x→ y→ y o y x o x (三) n R 中函数 f D R R :  n → , 和向量函数 n m F : D  R → R 微分的定义 ⚫ n R 中函数 f D R R :  n → 微分的定义: x0  D  ,若 f 的增量可表示成一个线性函数 ( )  ( ) = = − n i i i l x a x x 1 和高阶无穷小之和, 即： f a x o() n i  =  i  i + =1 , 其中 d (x x ) x     = 2 − 0 =  , 则 f 称在 0 x  点可微. 记 = =  n i i i df a x 1 ,称为 f 在 0 x  点的微分。 容易推证： 若 f 在 0 x  点可微, 则必有, ( ) i n x f x a i i , 1, , 0   =   = , 从而有 ( ) x o() x f x f n i i i  +    = =1 0  , f 在 0 x  点的微分可写成: