清华大学：《微积分》课程教学资源_第二章习题讨论3

第二章多元微分学 第二章多元函数微分学 11-Bxe-2习题讨论(II) 11-Exe-2-1讨论题 l1-Exe-2-1参考解答 习题讨论 题目 若函数=(xy)由方程F(x-a、y-b =0确定,其a,b,C为 常数,F∈C2,证明 (1)由z==(x,y)确定的曲面上任一点的切平面共点; (2)函数z=(x,y)满足偏微分方程 今有三个二次曲面 2.设曲面S由方程ax+by+c=G(x2+y2+x2)确定,试证明:曲 面S上任一点的法线与某定直线相交 其中,a>b>c,λ1≠2≠3,均为常数。证明:在三曲面的交点 处,三曲面正交 4.设方程 2x2+y2+z2+2xy-2x 4z+4=0 确定函数z=x(x,y),求其极值 ((0,1)处为极小点,) 3.证明:n边园内接多边形中,面积最大者是n正边形 4.设F(x,y,=)=0为空间光滑曲面,在该曲面同侧有两点 P(x1,y1,=)P(x2,y2,=2).,今一光线从射出,经曲面再反射 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论 第二章 多元函数微分学 11-Exe-2 习题讨论(II) 11-Exe-2-1 讨论题 11-Exe-2-1 参考解答 习 题 讨 论 题 目 1. 若函数 z = z(x, y),由方程 ,  = 0      − − − − z c y b z c x a F 确定，其 a,b, c 为 常数, 2 F  C , 证明： (1) 由 z = z(x, y) 确定的曲面上任一点的切平面共点； (2) 函数 z = z(x, y) 满足偏微分方程: 2 2 2 2 2 2            =      x y z y z x z . 今有三个二次曲面： 2．设曲面 S 由方程 ( ) 2 2 2 ax + by + cz = G x + y + x 确定, 试证明：曲 面 S 上任一点的法线与某定直线相交。 3. 1, 1,2,3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − = − + − + − i c x b x a x  i  i  i 其中， a  b  c ,  1  2  3 , 均为常数。证明：在三曲面的交点 处，三曲面正交。 4. 设方程 2 2 2 2 4 4 0 2 2 2 x + y + z + x y − x − y − z + = 确定函数 z = z(x, y), 求其极值。 ( (0,1) 处为极小点，)。 3. 证明: n 边园内接多边形中，面积最大者是 n 正边形。 4. 设 F(x, y,z) = 0 为空间光滑曲面, 在该曲面同侧有两点 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 P x , y ,z , P x , y ,z , ，今一光线从射出，经曲面再反射

第二章多元微分学 到,根据光程最短原理,证明反射定理:即光线途经曲面时,入 射角(入射线与曲面在该点法线立夹角)等于反射角(反射线与曲面 在该点法线立夹角)。 5.P是三角形ABC中的一点,从它向三边作垂直线,由垂足形成 另一个三角形DEF。试问在何处时,此新三角形面积最大? 解答参考 1.若函数z=2(x,y),由方程Fx=a =0确定,其a,b,c为 常数,F∈C2,证明 (1)由z=x(x,y)确定的曲面上任一点的切平面共点 (2)函数z=x(x,y)满足偏微分方程 02a2z(a2 证明:(法1) 22) =0→两边对x和y求导: x-a az F y-b az =0 (E-c)ax ( →切平面: →切平面总是过点(a,b,c) 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论 到，根据光程最短原理，证明反射定理：即光线途经曲面时，入 射角(入射线与曲面在该点法线立夹角)等于反射角(反射线与曲面 在该点法线立夹角)。 5. P 是三角形 ABC 中的一点，从它向三边作垂直线，由垂足形成 另一个三角形 DEF 。试问在何处时，此新三角形面积最大？ 解 答 参 考 1. 若函数 z = z(x, y),由方程 ,  = 0      − − − − z c y b z c x a F 确定，其 a,b, c 为 常数, 2 F  C , 证明： (1) 由 z = z(x, y) 确定的曲面上任一点的切平面共点； (2) 函数 z = z(x, y) 满足偏微分方程: 2 2 2 2 2 2            =      x y z y z x z . 证明：(法 1) ,  = 0      − − − − z c y b z c x a F  两边对 x 和 y 求导： ⚫ ( ) ( ) ( ) ( )        =           − − − − +             − −  − =           − − +   −           − − − −  0 1 0 1 1 2 2 2 1 2 2 2 y z z c y b z c F y z z c x a F x z z c y b F x z z c x a z c F  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 =   − + −   − −   − −   − + − y z z c y b x z x a y z y b x z z c x a  ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 = −   − −   − +   −   − − − + − − z c x z x a x z x a y z y b y z z c y b z c z c  ( ) ( ) − ( − ) = 0   + −   − z c y z y b x z x a  切平面： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 − − =   + −   − z z y z x y y y x z x y x x  切平面总是过点 (a,b,c)

第二章多元微分学 ·将(x-a)+(-b)-(2-c)=0对x和y再求导 aa a2-a -b) aa celo 若(x-aXy-b)≠0 a2= 02=822 (解2) :=1)-04)-0 F 0 =F1(-c-(x-k+r1(=c-(y=k=0 →(-c)F+(-c)fd-(x-a+(-bk=0 →(=0-cF1Px-x0)+(=0-c)F2(Py-y)- -(x0-a)F(P)+(vo-b)F(P0)(=-=0)=0 →切平面总是过点(a,b,c 2.设曲面S由方程ax+by+c=(x2+y2+2)确定,试证明:曲 面S上任一点的法线与某定直线相交 (证一)ax+by+c=G(x2+y2+ a+c b+c==2y+2 aaa 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论 ⚫ 将 ( ) ( ) − ( − ) = 0   + −   − z c y z y b x z x a 对 x 和 y 再求导: ( ) ( ) ( ) ( )          =   + −   +    −   =    + −   + −   y z y z y b y z x y z x a x z x y z y b x z x a x z 2 2 2 2 2 2  ( ) ( ) ( ) ( )          = − −    −    = − −   − 2 2 2 2 2 2 y z y b x y z x a x y z y b x z x a 若 (x − a)(y −b)  0  2 2 2 2 2 2            =      x y z y z x z (解 2) ,  = 0      − − − − z c y b z c x a F  , = 0               − − − − z c y b z c x a d F :  1 2  = 0      − −  +       − −  z c y b F d z c x a F d  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 2 2 = − − − − +  − − − −  z c z c dy y b dz F z c z c dx x a dz F  (z −c)F1 dx +(z −c)F2 dy −((x −a)F1 +(y −b)F2 )dz = 0  (z0 − c)F1 (P0 )(x − x0 )+ (z0 − c)F2 (P0 )(y − y0 )− − ((x0 − a)F1 (P0 )+ (y0 − b)F2 (P0 ))(z − z0 ) = 0  切平面总是过点 (a,b,c) 2．设曲面 S 由方程 ( ) 2 2 2 ax + by + cz = G x + y + z 确定, 试证明：曲 面 S 上任一点的法线与某定直线相交。 (证一) ( ) 2 2 2 ax + by + cz = G x + y + z                    = +   +          = +   + G y z y z y z b c G x z x z x z a c 2 2 2 2

第二章多元微分学 C-2= az 6-2vG yc-2二 →万=(a-2xG)+(b-2yG)+(c-2zG)k +b+k)-2x7+2yo5+2Gk) bj+ck 其中:A=(a,b,),F=(x,y,=) →法线与向量A和F共面,即与定直线 x=2=三总相交或平行 若x·y·二≠0,G"≠0则不会平行。 (证二)ax+by+c=G(x2+y2+=2) a+c=2x+2 ax a+c- 2x+2 ax 6+ 02=\y az b+c- 2y 2x+2. b av →(cy-bz)+(a-cx y|=0 (证二)ax+by+c=G(x2+y2+=2) -adx+bdy+cd==(2xdx+2ydy+2==) 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论         −  −  = −   −  −  = −   c zG b yG y z c zG a xG x z 2 2 2 2  n (a xG )i (b yG )j (c zG )k     = − 2  + − 2  + − 2   n (ai bj ck ) ( xG i yG j zG k )        = + + − 2  + 2  + 2   n (ai bj ck ) G (xi yj zk )        = + + − 2  + +  n A G r    = − 2  其中： ( ) ( ) T T A = a,b,c , r = x, y,z    法线与向量 A  和 r  共面，即与定直线 c z b y a x = = 总相交或平行 若 x  y  z  0 , G  0 则不会平行。 (证二) ( ) 2 2 2 ax + by + cz = G x + y + z                    = +   +          = +   + G y z y z y z b c G x z x z x z a c 2 2 2 2  y z y z x z x z y z b c x z a c   +   + =   +   + 2 2 2 2  2 2 2 2 = 0            +        − +            +        + y z b c x z x z y z y z x z a c  ( ) ( ) − ( − ) = 0   + −   − bx ay y z az cx x z cy bz  0 1 = −     a b c x y z y z x z (证二) ( ) 2 2 2 ax + by + cz = G x + y + z  adx + bdy + cdz = G(2xdx+ 2ydy + 2zdz)

第二章多元微分学 →(a-2xG)+(b-2G+(c-2xG)=0 3.今有三个二次曲面 l,i=1,2,3 其中,a>b>C,1≠凡2≠3,均为常数。证明:在三曲面的交点 处,三曲面正交 总是有三个不同的≠2≠3形成如此的三个曲面:因为 F(x2)=x(b2-x2)2-x2)+y2(a2-)2-x)+ +2(G2-2)b2-x2)+(a2-x2)b2 22)c2-2 在区间[b[[+<端点异号,因此有三个不同实根。 在三曲面的交点P(x,y,)处:三曲面之法向量: x 2=123 5a-2a-x)(b-)62-2) 2Xe2-2) 4 元2b2- 22:(-1)-(1)=0 4 2-x2)a2-x2) 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论  (a − 2xG)dx + (b − 2yG)dy + (c − 2zG)dz = 0 3. 今有三个二次曲面： 1, 1,2,3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − = − + − + − i c x b x a x  i  i  i 其中， a  b  c ,  1  2  3 , 均为常数。证明：在三曲面的交点 处，三曲面正交。 解： ⚫ 总是有三个不同的  1  2  3 形成如此的三个曲面：因为 ( ) = ( − )( − )+ ( − )( − )+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 F  x b  c  y a  c  ( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + z a −  b −  + a −  b −  c −  , 在区间 c,b,b,a,a,+ 端点异号，因此有三个不同实根。 ⚫ 在三曲面的交点 P(x, y,z) 处：三曲面之法向量： , 1,2,3 2 , 2 , 2 2 2 2 2 2 2 =         − − − = i c z b y a x n i i i i     ; ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i j i j i j b b y a a x n n   −  −  + − −  =   ( )( ) 2 2 2 2 2 2 i j c c z −  −  + = −         − + − + − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 i j i i i c z b y a x              − + − + − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 i j j j j c z b y a x      = (( 1) ( 1)) 0 4 2 2 − − − =  i −  j . [注]: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i j j i i j i j a a x a a a a x         − − − − −  − = − −