清华大学：《微积分》课程教学资源_第二章 多元函数微分学（2.4）隐函数微分法

第二章多元函数微分法 第二章第四节隐函数微分法 2-4隐函数与隐函数的导数 24-1隐函数求导 2-4-2隐函数存在性问题 辅导课事宜 班级 助教姓名助教住址助教电话 自2,自22,电机系(7),张靖22-412 62776299 计算机科学系(3),医学院(6) 13661167656 自23,自24,其他系(15)张李军20-304 62775069 自25,自26,自27 陈明11-115 62776447 13520608666 班级 助教姓名 时间 上课地点 计机科学系(3,医学院张第|星期4|四教 自25,自26,自27 陈明 星期二(5)|四教4209 3自23,自24,其他系(15) 张李军 星期二(4)四教4203 第五、七、九、十一、十三、十五、周上课 第五讲隐函数和隐函数微分法 课后作业: 阅读:第二章第四节:pp.50-56 预习:第二章第四节43:pp.56-58;第五节52:pp.60-63 作业:第二章习题4:pp.58-59:1;2;3;4;5. 2-4隐函数与隐函数的导数 隐函数问题的提出 设F是一个二元函数,对于方程 F(x,y)=0, 如果在区间(a,b)中的所有的x,都存在唯一的y,使得(x,y)满足上述 方程,即有 F(x,f(x)=0(Vx∈(a,b) 那么就说:由方程F(x,y)=0确定了(a,b)上的一个隐函数 (implicit function) y=f(x) 要注意的是,并非任何二元方程都能确定隐函数。首先,方程可 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 第二章 第四节 隐函数微分法 2-4 隐函数与隐函数的导数 2-4-1 隐函数求导 2-4-2 隐函数存在性问题 辅导课事宜 序 班 级 助教姓名 助教住址 助教电话 1 自 21, 自 22, 电机系(7)， 计算机科学系(3)，医学院(6) 张 靖 22--412 62776299 13661167656 2 自 23, 自 24, 其他系(15) 张李军 20--304 62775069 3 自 25, 自 26, 自 27 陈 明 11--115 62776447 13520608666 班 级 助教姓名 时间 上课地点 1 自 21, 自 22, 电机系(7)， 计算机科学系(3)，医学院(6) 张 靖 星期二(4) 四教 ? 2 自 25, 自 26, 自 27 陈 明 星期二(5) 四教 4209 3 自 23, 自 24, 其他系(15) 张李军 星期二(4) 四教 4203 第 五、七、九、十一、十三、十五、周上课 第五讲 隐函数和隐函数微分法 课后作业： 阅读：第二章 第四节 : pp. 50---56 预习：第二章 第四节 4.3 : pp. 56---58; 第五节 5.2: pp. 60---63 作业: 第二章 习题 4: pp. 58---59 : 1; 2; 3; 4; 5. 2-4 隐函数与隐函数的导数 隐函数问题的提出 设 F 是一个二元函数，对于方程 F(x, y) = 0, 如果在区间 (a,b) 中的所有的 x ，都存在唯一的 y ，使得 (x, y) 满足上述 方程, 即有 F(x, f (x))  0 (x(a,b)). 那 么 就说 : 由 方程 F(x, y) = 0 确定了 (a,b) 上 的一 个隐函数 (implicit function) y = f (x)。 要注意的是，并非任何二元方程都能确定隐函数。首先，方程可

第二章多元函数微分法 能无解;即使这个方程的(x,y)构成的集合不是空集,那么由这个方程 就可以确定变量x与y之间的一种对应关系,但不一定能构成函数关系, 也就是说,不一定能表示为y对于x(或者x对于y)的单值对应关系 y=y(x)。这就是所谓隐函数存在性问题 在几何上,这个问题是:设z=F(x,y是一个二元函数,在几何上是 空问中一张曲面。 首先,方程F(x,y)=0是否有解?在几何上就是:这张曲面与坐标 平面z=0是否有交? 其次,若有交,交集是否确定xoy平面上的一条曲线?如果能,这条 曲线能否表示为y=f(x)(或者x=x(y).如果不能整个地表示为 y=f(x)(或者x=x(y),那么这条曲线的某一部分能否表示为 y=f(x)(或者x=x(y)? 例如考察圆周C:x2+y2=1,显然,整个圆周既不能表示为 y=f(x),也不能表示为x=x(y).但是 在点(0,1)的某个邻域中的那部分曲线可以表示为y=1-x 在点10)的某个邻域中的那部分曲线可以表示为x=√1-y2 对于隐函数问题,首先有以下几个方面需要研究: 1.如何判定隐函数的存在性?它的定义域如何确定? 2.如何通过已知函数F(x,y)的性质去研究隐函数y=f(x)的性 质,如连续性,可微性等 3.如何计算隐函数的(偏)导数与(全)微分? 2-4-1隐函数求导 我们先假设隐函数存在,且可导,来讨论求导问题 若函数y=y(x),由方程F(xy)=0确定,求导之函数? 按隐函数定义有恒等式: F(x,y(x)=0→2F(x,yx) =F(x, y(x))+F(x,y(x))y(x)=0 Flx, y F'(x,y(x)) 从这是可见:函数y=y(x)可导有一个必要条件是,Fy(xy)≠0 例1已知函数y=f(x)由方程 ax+by=/x2+y2)ab是常数, 求导函数 若函数y=y(x),由方程F(G,y)=0确定,求导之函数 将y看作是x1“…,xn的函数y=y(x)=y(x1yx),对于方程 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 能无解；即使这个方程的 (x, y) 构成的集合不是空集, 那么由这个方程 就可以确定变量 x 与 y 之间的一种对应关系，但不一定能构成函数关系， 也就是说,不一定能表示为 y 对于 x (或者 x 对于 y )的单值对应关系 y = y(x) 。这就是所谓隐函数存在性问题。 在几何上,这个问题是：设 z = F(x, y) 是一个二元函数,在几何上是 空问中一张曲面。 首先，方程 F(x, y) = 0 是否有解？在几何上就是: 这张曲面与坐标 平面 z = 0 是否有交？ 其次，若有交，交集是否确定 xoy 平面上的一条曲线? 如果能,这条 曲线能否表示为 y = f (x) (或者 x = x( y) ). 如果不能整个地表示为 y = f (x) (或者 x = x( y) ),那么这条曲线的某一部分能否表示为 y = f (x) (或者 x = x( y) )? 例如考察圆周 C : + =   x y ,显然,整 个圆周既 不能表示为 y = f (x) ,也不能表示为 x = x( y) .但是 在点 (0,1) 的某个邻域中的那部分曲线可以表示为  y = −x ； 在点 (,) 的某个邻域中的那部分曲线可以表示为  x = −y . 对于隐函数问题，首先有以下几个方面需要研究: 1.如何判定隐函数的存在性？它的定义域如何确定？ 2.如何通过已知函数 F(x, y) 的性质去研究隐函数 y = f (x) 的性 质，如连续性，可微性等. 3.如何计算隐函数的（偏）导数与（全）微分？ 2-4-1 隐函数求导 我们先假设隐函数存在，且可导，来讨论求导问题. ⚫ 若函数 y = y(x), 由方程 F(x, y) = 0 确定，求导之函数？ 按隐函数定义有恒等式： F(x, y(x))  0  F(x, y(x)) = 0 dx d  Fx (x, y(x))+ Fy (x, y(x)) y (x) = 0  ( ) ( ( )) F (x y(x)) F x y x y x y x , ,    = − 从这是可见：函数 y = y(x) 可导有一个必要条件是， Fy (x, y)  0 . 例 1 已知函数 y = f (x) 由方程 ( ), , 2 2 ax + by = f x + y a b 是常数， 求导函数。 ⚫ 若函数 y y(x)  = , 由方程 F(x, y) = 0  确定，求导之函数？ 将 y 看作是 n x ,...,x 1 的函数 ( ) ( ,..., ) 1 n y = y x = y x x  ,对于方程

第二章多元函数微分法 F(xmxmn,y(x,n))=0 两端分别关于x求偏导数得到 aF(x,xn,(x1…x,)=2+=0 由这个方程求解 f 就可以得到所得公式 y F'(x, ax F,y) 例2方程x2+y2+x2-1=0在哪些点的邻域中能够确定隐函数 z=(xy)?在隐函数存在之处求, 解取F(x,y)=x+y2+=2-1,因为=2=,所以只要 二≠0,根据定理113.2,在点(x,y,z)的某个邻域中存在隐函数 二=二(x,y),也就是说,该球面在点(x,y,)某个邻域中的一小片可以 表示为〓=x(x,y).这个隐函数z=(x,y)定义在(x,y)的某个邻域 中,并且有 = 全=-t/=-y ay aa 2=2()=2 aa ax 当y≠0时,在点(x,y,z)的某个邻域中存在隐函数y=y(,x) 也就是说,该球面在点(x,y,=)某个邻域中的一小片可以表示为 y=y(x,x).这个隐函数定义在(,x)的某个邻域中 同样,当x≠0时,在点(x,y,=)的某个邻域中存在隐函数 x=x(y,),也就是说,该球面在点(x,y,)某个邻域中的一小片可以 表示为x=x(y,=).这个隐函数定义在(y,)的某个邻域中 若向量函数予=()=(v(x)…,yn(x),由方程组 f(x,y)=f1( yn)=0 F(x,y)=0即 确定 U/(,y)=f(x1…xn片,…,ym)=0 求向量函数=y()=((x)…,yn(x)之导函数? 将y1”yn看作是x1”…x的函数y=y(x)=y(x1…xn),则 (x,y1(x)…,ym2(x) F2(xy…,ym(x)=0或F(,)=0 Fm(x,y,(r)y()=0 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 F(x1 ,...,x n , y(x1 ,...,x n )) = 0 两端分别关于 i x 求偏导数得到 1 ( 1 ,..., , ( 1 ,..., )) = 0     +   =   i i n n i x y y F x F F x x y x x x 由这个方程求解 i x f   ,就可以得到所得公式 ( ) F (x y) F x y x y y x i i , ,     = −   . 例 2 方程 1 0 2 2 2 x + y + z − = 在哪些点的邻域中能够确定隐函数 z = z(x, y) ?在隐函数存在之处,求 2 2 , , x z y z x z       . 解 取 ( , , ) 1 2 2 2 F x y z = x + y + z − ， 因为 z z F = 2   ，所以只要 z  0 ,根据定理 11.3.2,在点 (x, y,z) 的某个邻域中存在隐函数 z = z(x, y) ,也就是说,该球面在点 (x, y,z) 某个邻域中的一小片可以 表示为 z = z(x, y) . 这个隐函数 z = z(x, y) 定义在 (x, y) 的某个邻域 中,并且有 z x z z x z z x z x x x z x x z z y z F y F y z z x z F x F x z 3 2 2 2 2 2 ( ) ( ) / , / + = − − = = − = − = − = − = − = −                       当 y  0 时, 在点 (x, y,z) 的某个邻域中存在隐函数 y = y(z, x) , 也就是说,该球面在点 (x, y,z) 某个邻域中的一小片可以表示为 y = y(z, x) . 这个隐函数定义在 (z, x) 的某个邻域中. 同样, 当 x  0 时, 在点 (x, y,z) 的某个邻域中存在隐函数 x = x( y,z) ,也就是说,该球面在点 (x, y,z) 某个邻域中的一小片可以 表示为 x = x( y,z) . 这个隐函数定义在 ( y,z) 的某个邻域中. ⚫ 若向量函数 ( ) ( ( ) ( )) T m y y x y x , , y x 1    = = , 由方程组 F(x, y) = 0    即 ( ) ( ) ( ) ( )      = = = = , , , , , 0 , , , , , 0 1 1 1 1 1 1 1 1 n m n m f x y f x x y y f x y f x x y y          确定， 求向量函数 ( ) ( ( ) ( )) T m y y x y x , , y x 1    = = 之导函数？ 将 m y ,...,y 1 看作是 n x ,...,x 1 的函数 ( ) ( ,..., ) i i i 1 n y = y x = y x x  ,则           ( , ( ),..., ( )) 0 ( , ( ),..., ( )) 0 ( , ( ),..., ( )) 0 1 2 1 1 1 F x y x y x F x y x y x F x y x y x m m m m           或 F(x, y)  0   

第二章多元函数微分法 分别对每一个方程的两端求关于x偏导数,得到 aF,(x, y,(),.m()aF, *aF, ay, aFm(x,y,(x) aF aF aF ay OF ay ay ax ay ay ay ax ax 0, oym八(ax1)(ax +. 解这个方程组得到 ay=aF aF df aF, aF aF ay ay ax Oy, Oy ay aF 如果从向量函数的方程F(x,y)≡0出发,用向量函数的导数则在记号上 很简单,而且与二元方程隐函数公式很相似。 F aF (,y)=0 或者 aFaF ay 可(aFaF av OF aF OFI 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 分别对每一个方程的两端求关于 i x 偏导数,得到          =     +   =   =     +   =     = = 0 ( , ( ),..., ( )) 0 ( , ( ),..., ( )) 1 1 1 1 1 1 1 m j i j j m i m i m m m j i j i i j m x y y F x F x F x y x y x x y y F x F x F x y x y x        0 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 =                           +                                                                  i i i i m i i m m m m m m x F x F x F x y x y x y y F y F y F y F y F y F y F y F y F          , 即 = 0      +   i i x y y F x F     解这个方程组得到 i i x F y F x y             = −   −     1 即                                                                 = −                            − i i i m m m m m m i m i i x F x F x F y F y F y F y F y F y F y F y F y F x f x f x f 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1          如果从向量函数的方程 F(x, y)  0    出发，用向量函数的导数则在记号上 很简单，而且与二元方程隐函数公式很相似。 F(x, y)  0     = 0      +   i i x y y F x F      i i x F y F x y              =   −     1 或者  = 0      +   x y y F x F        x F y F x y                    =   −1 即                                                  = −                         − n n m m m m n m m n x F x F x F x F y F y F y F y F x y x y x y x y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               

第二章多元函数微分法 由此可得到关于函数方程组有隐函数可导的必要条件是: ay ay, ay 存在台Del OF aF aF = m 例3设函数x=x(),y=y()由方程组 x2+y2+z2-1=0 确定,求虫 1=0 d= dz 「F(xy,=)=x2+y2+2-1 G(x,yz)=x2+2y2- 由于(F)2x2y det O(F,G) a(x,y)[2x4 因此只要点(x,y,z)满足F(x0,y20)=G(x0,y02z0)=0且 x0y≠0,那么在二的某个邻域中就存在隐函数x=x(=),y=y(), 得到 (F,G)、(F,G o(x, y) 14 112yz 2x2. 2 由此得到 dx dy dz x=u coS 1 例4已知函数z=(xy)由参数方程:{y=sm给定 二=l 试求丝,些 aa 解这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法 x,y是自变量,u,v是中间变量(an,v是x,y的函数), 先由二=得到 az 0= ou az ay ou a Ox Quax avox o 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 由此可得到关于函数方程组有隐函数可导的必要条件是： 1 1 1 1 1 −                         m m m m y F y F y F y F      存在  0 1 1 1 1                          m m m m y F y F y F y F Det       m y F y F y F y F Rank m m m m =                              1 1 1 1 例 3 设函数 x = x(z), y = y(z) 由方程组    + − − = + + − = 2 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 确定， 求 dz dy dz dx , . 解 令 2 1 ( , , ) 1 2 2 2 2 2 2     = + − − = + + − G(x,y,z) x y z F x y z x y z . 由于 x y x y F G x y x y x y F G 4 ( , ) ( , ) , det 2 4 2 2 ( , ) ( , ) =       =     因 此 只 要 点 0 0 (x , y ,z0) 满 足 ( , , ) ( , , 0 ) 0 0 0 0 0 0 F x y z = G x y z = 且 0 0 0 x y  ，那么在 z0 的某个邻域中就存在隐函数 x = x(z), y = y(z)， 得到 z F G x y F G dz dy dz dx     ( , ) ) ( , ) ( , ) ( −1 = −           =       − = −       −       − − − x z yz z x y z x x y y x y 8 12 4 1 2 2 2 2 4 2 4 1 由此得到 y z dz dy x z dz dx 2 , 3 = = − . 例 4 已知函数 z = z(x, y) 由参数方程:      = = = z uv y u v x u v sin cos 给定 ，试求 y z x z     , . 解 这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法. x, y 是自变量, u, v 是中间变量( u, v 是 x, y 的函数), 先由 z =uv 得到 x v u x u v x v v z x u u z x z               = + = +