清华大学：《微积分》课程教学资源_第六章 定积分（6.2-1）高阶线性方程

第六章常微分方程 第六章常微分方程 6-2高阶线性方程 6-2-1线性方程解的结构 6-2-2高阶线性常系数方程的解 6-2-3 Euler方程 第二十二讲高阶线性方程() 课后作业: 阅读:第六章6-1pp.189-194 预习:第六章6-2pp.194199 作业题:p.199习题21,(2),(4);2;3,(2) 引言 n阶线性微分方程的一般形式为 dx d t (1)x=∫(1) d t d 其中a(t)=1,2,,m)以及f()都是区间上的已知连续函数当f()≡0 时、(31)变成相应的齐次方程 +a1(1 dx (1),+.+an(1)x=0 dt 为简便计,记:k阶导数符号D d,及多项式微分算子: +a1(D)D”+a2(D)D2+…+an(D) 这样n阶线性齐次微分方程可表成:L(Dx=0 n阶线性非齐次微分方程可表成:L(D)x=f() 易于验证,算子对函数的作用具有线性性。 对于n阶线性微分方程解的存在唯一性定理 定理:设方程L(D)x=f()中的系数a(0)(=12,,m)以及非齐次项 f()都是区间上的已知连续函数,t∈1.则对于任意一组实数 5,5,…,1,方程满初值条件 x(t)=50x(to)= 的解在区间I上存在唯 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 6-2 高阶线性方程 6-2-1 线性方程解的结构 6-2-2 高阶线性常系数方程的解 6-2-3 Euler 方程 第二十二讲 高阶线性方程(一) 课后作业： 阅读：第六章 6-1 pp. 189—194 预习：第六章 6-2 pp. 194—199 作业题: p.199 习题 2 1, (2), (4); 2; 3,(2) 引言： ⚫ n 阶线性微分方程的一般形式为 n n n n n n d x d t a t d x d t a t d x d t + + + +a t x = f t − − 1 − 1 1 ( ) 1 ( ) .... ( ) ( ) 其中 ai(t)(i = 1,2,...,n) 以及 f (t) 都是区间 I 上的已知连续函数.当 f (t)  0 时,(3.1)变成相应的齐次方程: n n n n n n d x d t a t d x d t a t d x d t + + + +a t x = − − 1 − 1 1 ( ) 1 ( ) .... ( ) 0 为简便计，记： k 阶导数符号 k k k dx d D = , 及多项式微分算子： ( ) ( ) ( ) .... ( ) 2 2 1 1 L D D a t D a t D a t n n n n = + + + + − − , 这样 n 阶线性齐次微分方程可表成： L(D)x = 0 n 阶线性非齐次微分方程可表成： L(D)x = f (t) 易于验证，算子对函数的作用具有线性性。 ⚫ 对于 n 阶线性微分方程解的存在唯一性定理: 定理: 设方程 L(D)x = f (t) 中的系数 ai(t)(i = 1,2,...,n) 以及非齐次项 f (t) 都是区间 I 上的已知 连 续 函 数 , t0 I . 则对于任意一组实数 0 1  1 , ,.., , n− 方程满初值条件: x t x t x t n n ( ) , ( ) ,..., ( ) ' ( ) 0 0 0 1 1 0 = = = 1 −    − 的解在区间 I 上存在唯一

第六章常微分方程 6-2-1线性方程解的结构 (一)函数的线性相关性: 1)定义:在区间(a,b)上的n个函数x,()i=1…,n线性相关,是指, 存在n个不全为零的常数c,i=1,…,n,使得 x∈(nb)∑cx(0)=0 否则称x,()=1…,n为线性无关 2)性质 若n个函数x()i=1,…,n线性相关→郎斯基(Wony)行列式W恒 x X 为零,即:B()-x)x0 x'() ()x-)2(0…x-yn() 若存在x∈(anb),使得W(x)≠0→函数x、()i=1…,n线性无关。 例如:设,A2,Lm∈R互不相等,则函数e,e,e在任意区间/上 线性无关 (二)线性方程解的结构 (1)若x(1).x()都是方程L(D)x=0的解则对任意常数a,C 函数c1x1(1)+c2x2(1)也是该方程的解 证明:只要利用多项式微分算子L(D)的线性性即可 (2)方程L(D)x=0的所有解构成一个n维线性空间,其中任意n个线性无 关的解,x,()i=1…,n,构成该空间的一组基。 证明:L(D)x=0的所有解构成线性空间是明显的 关键要证明它是n维的,即要证恰有n个线性无关之解 为此要用到解存在唯一性定理。今以二阶为例,高阶证法一样 设有二阶齐次方程:L(D)y=y”+p(x)y+qx)y=0,下面证明:其 解集S是一个之维的线性空间。设p(x)q(x)在/中连续 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 6-2-1 线性方程解的结构 (一) 函数的线性相关性： 1) 定义： 在区间 (a,b) 上的 n 个函数 xi (t), i = 1,  ,n 线性相关，是指， 存在 n 个不全为零的常数 ci , i = 1,  ,n ，使得 ( , ), ( ) 0 1    = = n i i i x a b c x t ; 否则称 xi (t), i = 1,  ,n 为线性无关. 2) 性质： ⚫ 若 n 个函数 xi (t), i = 1,  ,n 线性相关  郎斯基(Wronsky)行列式 W 恒 为零, 即： W(x)= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t x t x (t) x t x t x t x t x t x t n n n n n n 1 2 1 1 1 1 2 1 2 − − −            0 ⚫ 若存在 x (a,b), 使得 W(x)  0  函数 xi (t), i = 1,  ,n 线性无关。 例如:设 1 ,2 ,...,m R 互不相等, 则函数 1t 2t  t e e e m , ,..., 在任意区间 I 上 线性无关. (二) 线性方程解的结构 (1)若 x1 (t), x2 (t) 都是方程 L(D)x = 0 的解,则对任意常数 c1 ,c2 , 函数 c1 x1 (t) + c2 x2 (t) 也是该方程的解. 证明：只要利用多项式微分算子 L(D) 的线性性即可。 (2) 方程 L(D)x = 0 的所有解构成一个 n 维线性空间, 其中任意 n 个线性无 关的解， xi (t), i = 1,  ,n , 构成该空间的一组基。 证明： L(D)x = 0 的所有解构成线性空间是明显的； 关键要证明它是 n 维的，即要证恰有 n 个线性无关之解. 为此要用到解存在唯一性定理。今以二阶为例，高阶证法一样。 设有二阶齐次方程: L(D)y = y  + p(x)y  + q(x)y = 0 , 下面证明：其 解集 S 是一个之维的线性空间。设 p(x),q(x) 在 I 中连续

第六章常微分方程 (1)由多项子微分算子L(D)=D2+p(x)D+qx)的线性运算可知解集S 是一线性空间。 (2)线性空间S是二维的,即有二个无关解,构成基 (2-1)由解的存在唯一性定确定两个解: y1(x)是满足条件 LD)y=O y(x0)=1y(x0)=0 之解; y2(x)是满足条件 L(D)y=0 y(x)=0y(x)=1 可断言两个解无关解因为其郎斯基行列式在x=x0处不为零, ()=(x)y(x)=1=1 (x0)y2(x (2-2)进一步可证该郎斯基行列式恒不为零.因为 W(x)= (x)y2,(x vi(x)y2() W"(x)= (x)y2())()y2( x)y()y2( i()yiG)v(x)y(xvi(x)y2( VI W y2 V1+qy, py2+qy2 w"'(x)=-p(x)w(x) →W(x)=e 0,Vx∈ (2-2)最后,证明这两个解张成上述方程之解空间:即可证: x1∈l,V(,y),方程 LD)y=0 ly(x,)=yo, y(x,)=ya 之解y(x) 都可表成:y(x)=cy1(x)+c2y2(x)。事实上, 利用初始条件,确定常数,得代数方程 n(x1)y2(x) vi()yi(cya 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 (1) 由多项子微分算子 L(D) = D + p(x)D + q(x) 2 的线性运算可知解集 S 是一线性空间。 (2) 线性空间 S 是二维的，即有二个无关解，构成基。 (2-1) 由解的存在唯一性定确定两个解： y (x) 1 是满足条件 ( ) ( ) ( )    =  = = 1, 0 0 0 0 y x y x L D y 之解; y (x) 2 是满足条件 ( ) ( ) ( )    =  = = 0 1 0 0 0 y x y x L D y 之解 可断言两个解无关解. 因为其郎斯基行列式在 0 x = x 处不为零， 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 0 1 0 2 0 1 0 2 0 0 = =   = y x y x y x y x W x (2-2) 进一步可证该郎斯基行列式恒不为零. 因为, ( ) ( ) ( ) y (x) y (x) y x y x W x 1 2 1 2   = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y (x) y (x) y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2   =     +      = ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 y y y y p x p y q y p y q y y y W x   = −  +  +  = − ( ) ( ) ( ) ( )    =  = − W x0 1 W x p x W x  ( ) ( ) W x e x I x x p x dx     = − 0, 0 ; (2-2) 最后，证明这两个解张成上述方程之解空间：即可证： ( ) 1 0 0 x  I, y , y  , 方程 ( ) ( ) ( )    =  =  = 1 0 1 0 , 0 y x y y x y L D y 之解 y(x), 都可表成： y(x) c y (x) c y (x) = 1 1 + 2 2 。事实上， 利用初始条件,确定常数，得代数方程： ( ) ( ) ( ) ( )          =                  0 0 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 y y c c y x y x y x y x ;

第六章常微分方程 由于系数行列式:y(x (x)y2(x1) y(x1)y2(x) =W(x)≠0,因而总有唯一解 (,c2)。这就证明了,线性无关的两个函数{v(x)y2(x)张成了齐次方程 L(D)x=0的解空间。 3)。非齐次方程L(Dx=f(0)之解 非齐次方程L(D)x=f()意两个解之差是齐次方程L(D)x=0的解 因此,如果已知方程L(Dx=f()有一个特解X(),那么它的每个解都可以 表示为x(1)=X(1)+x(1),其中x()是齐次方程L(D)x=0的解 例如:方程x+c2x=a 与相应的齐次方程x+c2x=0 不难验证,snot, cos ot是齐次方程的两个线性无关解, 是非齐次方程的一个特解 因此齐次方程的通解是x(1)= c sIn at+ c, cos at 而非齐次方程的通解为y(1)==2+ C sin ot+ C, cos or (三)线性方程解的求解:观察待定法。 设有二阶齐次方程:L(D)y=y"+p(x)y+qx)y=0, 若己知二阶齐次方程L(D)y=0的一个特解y(x),用变动任意常数法 设y2(x)=c(x)y(x),代入方程可求出另一个无关特解。 若己知二阶齐次方程L(D)y=0的二个无关特解,y1(x)y2(x),用变动 任意常数法, iy()=c()y(x)+c()y(x), 代入方程,可求出非齐次方程L(D)y=f()的一个特解 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 由于系数行列式: ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 0 1 1 2 1 1 1 2 1 =            W x y x y x y x y x , 因而总有唯一解 ( ) 1 2 c ,c 。 这就证明了，线性无关的两个函数 y1 (x), y2 (x) 张成了齐次方程 L(D)x = 0 的解空间。 (3)。非齐次方程 L(D)x = f (t) 之解 非齐次方程 L(D)x = f (t) 任意两个解之差是齐次方程 L(D)x = 0 的解; 因此，如果已知方程 L(D)x = f (t) 有一个特解 X(t), 那么它的每个解都可以 表示为 x(t) = X (t) + x(t) ,其中 x(t) 是齐次方程 L(D)x = 0 的解. 例如:方程 '' x + x = a 2  与相应的齐次方程 '' x + x = 2  0. 不难验证,sin t,cost 是齐次方程 的两个线性无关解, a 2  是非齐次方程 的一个特解. 因此,齐次方程的通解是 x(t) = c1 sint +c2 cost. 而非齐次方程的通解为 y t a ( ) = + c sin t + c cos t 2 1 2    . (三) 线性方程解的求解：观察待定法。 设有二阶齐次方程: L(D)y = y  + p(x)y  + q(x)y = 0 , ⚫ 若己知二阶齐次方程 L(D)y = 0 的一个特解 y (x) 1 ，用变动任意常数法, 设 y (x) c(x)y (x) 2 = 1 ，代入方程 可求出另一个无关特解。 ⚫ 若己知二阶齐次方程 L(D)y = 0 的二个无关特解， y (x) y (x) 1 2 , , 用变动 任意常数法, 设 Y(x) c (x)y (x) c (x)y (x) = 1 1 + 2 2 , 代入方程, 可求出非齐次方程 L(D)y = f (t) 的一个特解

第六章常微分方程 例1:xy”+xy2-y=0 解:可观察出一个解:y1=x 今利用侍定函数法求第二个特解(变动任意常数法) x)×y2=(x) p(×y2+c(m+c()y(x) 1×y2=(x)+2c(x)(x)+c(x)y(x) 0=4(x)0+c(py+2y1)+c(x)(x) c"(x) (x)p(x)y1(x)+2y(x) hnc(x) (x) d x p(x)y1(x)+2y(x) -n(x) d(x)=e p(an(2yah dx 解是y=cx+c2x2+2x+2) 例2: +2xy-2y=0 解:多项式解:y=x",n-3n+2=0 1=x;y2=x2+1 例3:(1-x2)y”+2xy-2y=1-x2, 9x)xr=c(x)y(x)+c2(x)y2(x) p(x)×H=c{(xy(x)+c(x)y(x)+c(x)n(x)+c2()2(x) 1×y1=c(x)(x)+c2(x)2(x)+cf(xy(x)+c(n(x) (x)=c(x)0+c(x)0+c(x)y(x)+c()() 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 例 1： xy  + xy  − y = 0 解：可观察出一个解： y = x 1 今利用侍定函数法求第二个特解 ( 变动任意常数法): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 p x y x 2y x y x c x c x +  − =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  +  −  = dx p x y x y x y x c x 1 1 1 2 ln( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c x e dx dx p x y x y x y x   +  − = 1 1 1 2 解是 ( ) x y c x c x x x e − = + + 2 + 2 2 1 2 . 例 2： (1 ) 2 2 0 2 − x y  + xy  − y = 解：多项式解： n y = x , 3 2 0 2 n − n + = ; y = x 1 ; 1 2 y2 = x + . 例 3： ( ) 2 2 1− x y  + 2xy  − 2y =1− x , q(x) ( ) 2 1 y = c x y p(x) y c(x)y c (x)y (x) 2 1 1  =  +  1 y c(x)y c (x)y (x) c (x)y (x) 2 1 2 1 1  = +   +  c(x) c (p y y ) c (x)y (x) 0 0 1 2 1 1 =  +  +  +  q(x) Y c (x)y (x) c (x)y (x) = 1 1 + 2 2 O p(x) Y c (x)y (x) c (x)y (x) c (x)y (x) c (x)y (x) 2 1 1 1 1 1 1 2 2  =  +  +  +  1 Y c (x)y (x) c (x)y (x) c (x)y (x) c (x)y (x) 1 1 2 2 1 1 2 2  =  +  +   +   f (x) c(x) c(x) c (x)y (x) c (x)y (x) 0 0 1 1 2 2 =  +  +   +  