清华大学：《微积分》课程教学资源_第六章 常微分方程（课后作业）

第六章常微分方程 第六章常微分方程 6-1复习:微分方程基本概念及可积类型 6-1-1基本概念 6-1-2一阶可积类型 6-1-4高阶可降阶类型 第二十一讲微分方程复习 6-1-1基本概念 (一)关于方程: 什么是微分方程?包含未知函数导数的方程式称为微分方程 (differential equation) 微分方程分类: 按自变量多少分:常微分方程和偏微分方程:线性非线性方程 按微分方程的阶( order)数分 n阶常微分方程的一般形式为 dy d y d-y f(x, y, dx 线性与非线性方程 n阶线性常微分方程的一般形式为 "+an()2++a(x)4+a1()y=(x) 其中a(x)(=01,n-1,f(x)是已知函数 (二)关于方程的解: 解的概念 满足微分方程的函数,称为该方程的解 通解一般解与初值问题 对阶微分方程,包含了n个任常数的解y=f(x,C2C,,cn) 称为微分方程的通解( general solution) 对于n阶微分方程(1.9)—(1.11),为了从通解中找到所需要的解, 需要附加n个初始值条件,即 y=f(,y, dy d' y(xo)=yo, y(xo=yo,, y(-(ro)=yo- 这样的定解条件称为初值条件( initial condition) 上述问题就称为初值问题.或者 Cauchy问题 还有其它的定解问题.例如对于二阶常微分方程 f(x,y,y)=0 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 6-1 复习：微分方程基本概念及可积类型 6-1-1 基本概念 6-1-2 一阶可积类型 6-1-4 高阶可降阶类型 第二十一讲 微分方程复习 6-1-1 基本概念 (一) 关于方程： ⚫ 什么是微分方程？包含未知函数导数的方程式称为微分方程 (differential equation). ⚫ 微分方程分类： 按自变量多少分：常微分方程和偏微分方程；线性非线性方程 按微分方程的阶(order)数分: n 阶常微分方程的一般形式为 ( ) ( , , , ,..., ) 1 1 2 2 − − = n n n dx d y dx d y dx dy y f x y 线性与非线性方程 n 阶线性常微分方程的一般形式为 ( ) ... ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 a x y f x dx dy a x dx d y a x dx d y n n n n n + + + + = − − − 其中 a (x), (i 0,1,...,n 1), f (x) i = − 是已知函数. (二) 关于方程的解： ⚫ 解的概念: 满足微分方程的函数，称为该方程的 解。 ⚫ 通解一般解与初值问题 对 n 阶微分方程, 包含了 n 个任常数的解 y = f (x,c1 ,c2 ,...,cn) 称为微分方程的通解(general solution). 对于 n 阶微分方程(1.9)--(1.11),为了从通解中找到所需要的解, 需要附加 n 个初始值条件, 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      =  =  = = = − − − − 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 , , , ( , , ,..., ) 0 n n n n n y x y y x y y x y dx d y dx dy y f x y  这样的定解条件称为初值条件(initial condition), 上述问题就称为初值问题.或者 Cauchy 问题. 还有其它的定解问题.例如对于二阶常微分方程 y  = f (x, y, y ) = 0

第六章常微分方程 附加条件 Ma=yi, yb)=y2 称为边值条件( boundary condition) 满足微分方程,并且适合定解条件的解称为微分方程的特解 (special solution) 微分方程的存在唯一性定理 存在唯一性定理:对一阶初值问题:女=(xy),若二元函数 y(ro)=y ∫(x,y)在矩形D={(x,y)x-xKAy-yKB}连续 且偏导数(xy存在并有界则存在正数,使得上述初值问题 在区间[x0-h,x+h上存在有唯一的解 证明思路:{(=(6)-m)设(= 构造达代叙列:yn(x)=/(x,y2(x)x,n=01…则 lyn,(x)-y,(x<1(x, n (x)-f(x,,n-(x)d jv, (x)-ym-1(x)dxr ≤B|x J 其中:|-川1=Max(x)-v(x),B=Max af(,y) xy)∈D0 6-1-2一阶可积类型 (一)分高变量型形如 f(x)g() 或者 u(x)dx=v(y)d 例1:解方程x1+y2+y√1+x2=0 解:将方程化为 0 积分得到通解√1+y+√1+x2=c(c>2) 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 附加条件 1 2 y(a) = y , y(b) = y . 称为边值条件( boundary condition). 满足微分方程, 并且适合定解条件的解称为微分方程的特解 (special solution). ⚫ 微分方程的存在唯一性定理 存在唯一性定理: 对一阶初值问题:     = = 0 0 ( ) ( , ) y x y f x y dx dy , 若二元函数 f (x, y) 在矩形 : {( , ) :| | ,| | } D = x y x − x0  A y − y0  B 连续, 且偏导数 ( ) y f x y   , 存在并有界. 则存在正数 h, 使得上述初值问题 在区间 [x0 −h, x0 +h] 上存在有唯一的解. 证明思路:     = = 0 0 ( ) ( , ) y x y f x y dx dy ( ) ( )   = x x y x f x y x dx 0 , ( ) .设 0 0 y (x) = y , 构造迭代叙列： ( ) ( , ( )) , 0,1, 0 1 = = +  y x f x y x dx n x x n n . 则 ( ) ( ) ( ) + −   − − x x yn x yn x f x yn x f x yn x dx 0 ( ) , ( ) , ( ) 1 1 ( ) (y y )dx B y x y (x)dx y f x x x n n x x  n − n−   − −   = 0 0 1 1 ( ) , +1 0 − −1  −  −  n n n n y y B x x y y 其中： u v Max u(x) v(x) x I − = −  , y f x y B Max x y D   =  ( , ) ( , ) 6-1-2 一阶可积类型 (一) 分离变量型 形如 dy dx = f (x)g( y) 或者 u(x)dx = v( y)dy 例 1: 解方程 1 1 0 2 2 x + y + yy  + x = . 解: 将方程化为 xdx x ydx 1 1 y 0 2 2 + + + = 积分得到通解 1 1 2 2 2 + y + + x = c(c  )

第六章常微分方程 (二)可化为可分高变量型的方程 零齐方程:=82),利用代换n=2,可以将这类方程化为 变量分离方程 例2:求此曲线y=y(x),使其上每点M(x,y)的法线平分过这点的水 平线与矢径所交之角 解:d 令=y,代入方程 l+n'sV1+u2-1d√1+u u2 dx √x2+y2=x+c→y2=2cx+c2 这是抛物线 a,x+ y+C ,先作变量 将其变成关于 a,x+b,y+c2 v=y-Vo n的零齐方程,如=4+ a,u+b,v y'=∫(ax+b),令=ax+by,y l-ax y=f(ax+by)=(u-a)=f(u) →l=b(l)+a (三)一阶线性方程 考察一阶线性微分方程 d +p(x)y=q(x) 凑导数法+以(x)y=q(x),方程两边乘函数cmM, d y(x)·e =g(x)2/k y(x)=C 「q(x dy I 例3:解方程+xy-x 解: x,对方两边同乘x,得:xy+y=sinx (xy) sIn x 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 (二) 可化为可分离变量型的方程 ⚫ 零齐方程: dy dx g y x = ( ), 利用代换 u y x = , 可以将这类方程化为 变量分离方程. 例 2: 求此曲线 y = y(x),使其上每点 M (x, y) 的法线平分过这点的水 平线与矢径所交之角。 解: y x y x y dx dy + − =  = 2 2 . 令 x y u = , 代入方程 u u u xu 1 1 2 + − +  = ; x dx u d u = − + + 2 2 1 1 1  x + y = x + c 2 2  2 2 y = 2cx + c 这是抛物线。 ⚫         + + + +  = 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c y f , 先作变量    = − = − 0 0 v y y u x x 将其变成关于 u,v 的零齐方程,         + + = a u b v a u b v f dv du 2 2 1 1 ⚫ y  = f (ax + by) , 令 u = ax + by , b u ax y − = , y  = f (ax + by)  (u a) f (u) b  − = 1  u  = bf (u)+ a (三) 一阶线性方程 考察一阶线性微分方程 dy dx + p(x) y = q(x) 凑导数法 dy dx + p(x) y = q(x) ，方程两边乘函数 ( )  p x dx e , ( ) ( ) ( )  =          p x dx p x dx y x e q(x)e ( ) ( ) ( ) y x Ce e q x e dx p x dx p x dx p x dx    +  = − − ( ) ( ) 例 3:解方程 dy dx x y x x + = 1 sin . 解: e x dx x =  1 , 对方两边同乘 x ,得: x y  + y = sin x (x y) = sin x 

第六章常微分方程 两边积分:xy=∫smx+c,y=(-cosx+c) (五)全徽分方程 微分方程M(x,y)x+N(x,y)dhy=0 其中M(x,y)与N(x,y)连续可微的函数.若满足可积性条件: MM(x,y) a(x,y) 则称该方程是全微分方程( exact differential equation) 例4:解方程(1+)ax+e(-x)=0. 解:是一个全微分方程.下面用三种方法求解这个方程. 解法1:线积分法 解法2:用不定积分计算.l(x,y)=x+ye= 解法3:凑全微分法,将方程中各项重新组合为 d x+ i dy +e (yedx-xdy dx dx +erdy+yed()=0 此式进一步又化为+edy+yd(e)=0 由此立即得到方程通解为x+yei=C. (六)积分因子 若微分方程 M(x, y)d+N(x, y)dy=0 不是全微分方程,有时可以找到一个非零函数(x,y),使得 u(x,y)M(x, y)ax+u(x,y)N(x, y)dy=0 成为全微分方程.这样的函数称为积分因子( integrating factor) 例5:解方程ydx+(x-3xy2)y=0 A: ydx+(x-3x'y)dy= ydx+xdy-3x'y-dy ydx+(x-3x'y)dy=0= d(xy)-3x'y dy=0 两边同乘 d(xy)3dy y (xy)2 3d(ny)=0 In 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 两边积分： x y = xdx + c  sin , y x = − x + c 1 ( cos ) . (五)全微分方程 微分方程 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 其中 M (x, y) 与 N(x, y) 连续可微的函数. 若满足可积性条件：     M x y y N x y x ( , ) ( , ) = 则称该方程是全微分方程(exact differential equation). 例 4:解方程 (1+ ) + (1− ) = 0 x y x e dx ey x y dy . 解:是一个全微分方程. 下面用三种方法求解这个方程. 解法 1:线积分法 解法 2:用不定积分计算. u x y x y e c x ( , ) = + y = . 解法 3:凑全微分法,将方程中各项重新组合为 dx e dy e ydx xdy y x y x + + y − ( ) = 0 dx e dy y e ydx xdy y x y x + + y − ( ) = 2 0, 即 dx e dy y e d x y x y x + + y = ) ( ) 0. 此式进一步又化为 dx e dy yd e x y x + + ( y ) = 0 由此立即得到方程通解为 x y e c x + y = . (六)积分因子 若微分方程 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 不是全微分方程, 有时可以找到一个非零函数 (x, y) , 使得 (x, y)M(x, y)dx +(x, y)N(x, y)dy = 0 成为全微分方程. 这样的函数称为积分因子(integrating factor). 例 5:解方程 ( 3 ) 0 3 2 y dx + x − x y dy = . 解: y dx x x y dy ydx xdy x y dy 3 2 3 2 + ( − 3 ) = + − 3 ( 3 ) 0 3 2 ydx + x − x y dy =  ( ) 3 0 3 2 d xy − x y dy = 两边同乘 ( ) 3 1 xy , ( ) ( ) 0 3 3 − = y dy xy d xy ( ) 3 (ln ) 0 1 2 1 2 − =        −  d y xy d  ( ) ln 0 2 1 3 2 =         − − y xy d

第六章常微分方程 原方程的通解为 +3n 1 例6:解方程xax+y+4y3(x2+y2)hy=0 解: ++4y3(x2+y2)d d(x2+y2)+4y(2+y2k 两边同乘、1一得:2x2+y2+4y3=0 2+y +4y3d=dn√x2+y2+y 从而得到方程通解hyx2+y2+y+=C 6-1-3高阶可降阶类型方程的求解 般情况下,求解高阶方程更加困难.处理高阶方程的思路之一是设 法降低方程的阶.在这里,仅讨论二阶方程 的几种右端函缺缺变量的情形进行讨论 (一)y=f(x)类型 可通过n次积分可以得到通解.逐次积分得到方程通解变为 (x-1)-lf(dt+Cx"+.+cm-x+c (二)y"=f(x,y)类型 令p(x)=y,y=p(x),方程变成:p'=f(x,p) 这是一阶方程,有可能求解 例7:设有单位质量的质点Q,受到沿x方向的力P= Asn o t的作用 沿x轴运动.及空气阻力与速度成正比,比例系数k>0,其中A,为常 数.如果x(0)=0,x(0)=0,试求质点运动规律 解:根据 Newton第二定理,质点运动方程为 d dx k-t asin o t x(0)=0,x(o)= 解:这是y"=f(x,y)型方程,令p()=x().则方程变成: 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 原方程的通解为 1 2 2 3 ( ) ln xy + y = c. 例 6:解方程 4 ( ) 0 3 2 2 xdx+ ydy + y x + y dy = . 解: xdx ydy 4y (x y )dy 3 2 2 + + + = ( ) 4 ( ) 0 2 1 2 2 2 2 d x + y + y x + y dy = 两边同乘 2 2 1 x + y 得: ( ) 4 0 2 1 3 2 2 2 2 + = + + y dy x y d x y ( ) 4 (ln ) 0 2 1 3 2 2 4 2 2 2 2 + = + + = + + y dy d x y y x y d x y 从而得到方程通解 x + y + y = C 2 2 4 ln . 6-1-3 高阶可降阶类型方程的求解 一般情况下,求解高阶方程更加困难.处理高阶方程的思路之一是设 法降低方程的阶.在这里,仅讨论二阶方程 y  = f (x, y, y ) 的几种右端函缺缺变量的情形进行讨论. (一) ( ) ( ) n y = f x 类型 可通过 n 次积分可以得到通解. 逐次积分得到方程通解变为 ( ) ( ) n n n x x n x t f t dt c x c x c n y − + + + + − = − − −  1 1 1 1 0 ( 1)! 1  (二) y  = f (x, y ) 类型 令 p(x) = y  , y  = p (x), 方程变成： p  = f (x, p) 这是一阶方程，有可能求解。 例 7: 设有单位质量的质点 Q, 受到沿 x 方向的力 P = Asin  t 的作用 沿 x 轴运动.及空气阻力与速度成正比，比例系数 k  0 ,其中 A, 为常 数. 如果 x(0) = 0, x (0) = 0 ,试求质点运动规律. 解:根据 Newton 第二定理,质点运动方程为 ( ) ( )      =  = = − + 0 0, 0 0 sin 2 2 x x A t dt dx k dt d x  解：这是 y  = f (x, y ) 型方程, 令 p(t) = x (t), 则方程变成：