清华大学：《微积分》课程教学资源_第二章 多元函数微分学（2.3）复合函数微分法（课后作业）

第二章多元函数微分法 第二章多元函数微分学 第三节复合函数微分法 2-3复合函数微分法 2-3-1复合函数导数公式 2-3-2方向导数与梯度 第四讲复合函数微分法 课后作业: 阅读:第二章第三节:pp.40--49 预习:第二章第四节:pp50--58 作业:第二章习题3:pp.49-50:1,(2,(3,(5);2;4;6;7;9 2-3复合函数微分法 2-3-1复合函数导数公式 (一)任何具体的初等多元函数的偏导数均可由一元函数求导公式解决,例如, 对函数二= Xoos y,求与些是简单的: aaa COS yy J cos. (-)cos I-sin 2.sin 2 在求导中利用了中间变量u=x,y=2,z=f(u,y)= sin u cOs 及一元函数的复合函数求导公式 但是,若要研究像二=f(x,2)这样带一般性结构函数的导数就不是一 元复合函数求导公式所能胜任的了。而必须讨论多元函数复合函数微分法则 (二)复合函数微分法 首先考虑一种最简单的情形,即只有两个自变量,两个中间变量 的情形:二=f(u,v), u=u(x,) v =v(x, 定理设二元函数=f(un,v)在点(V0)处偏导数连续, 二元函数u=l(x,y)v=v(x,y)在点(x0y0)处偏导数连续, 并且0=l(xo3y0)3vo=v(xoyo).则 复合函数z=f(u(xy),v(x,y)在点(x0,y0)处可微,且 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 第二章 多元函数微分学 第三节 复合函数微分法 2-3 复合函数微分法 2-3-1 复合函数导数公式 2-3-2 方向导数与梯度 第四讲 复合函数微分法 课后作业： 阅读：第二章 第三节 : pp. 40----49 预习：第二章 第四节 : pp. 50---58 作业: 第二章 习题 3: pp.49---50 : 1,(2), (3, (5); 2; 4; 6; 7; 9. 2-3 复合函数微分法 2-3-1 复合函数导数公式 (一) 任何具体的初等多元函数的偏导数均可由一元函数求导公式解决，例如， 对函数 x y y x z = sin cos ,求 y z x z     与 是简单的: x y x y x y y x y y x x z cos sin ( )sin 1 cos 2 =  − −   y x x x y x y y x y x y z sin 1 cos ( ) cos sin 2 =  − −    在求导中利用了中间变量 x y v y x u = , = ， z = f (u,v) = sin u cos v 及一元函数的复合函数求导公式. 但是,若要研究像 ( , ) x y y x z = f 这 样带一般性结构函数的导数就不是一 元复合函数求导公式所能胜任的了。而必须讨论多元函数复合函数微分法则. (二) 复合函数微分法 首先考虑一种最简单的情形,即只有两个自变量,两个中间变量 的情形: z = f (u,v) ,    = = ( , ), ( , ), v v x y u u x y 定理 设 二元函数 z = f (u,v) 在点 ( , ) 0 0 u v 处偏导数连续， 二元函数 u = u(x, y), v = v(x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处偏导数连续, 并且 ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 0 u = u x y v = v x y . 则 复合函数 z = f (u(x, y), v(x, y)) 在点 ( , ) 0 0 x y 处可微，且

第二章多元函数微分法 af(uo, vo )au(xo, yo) df(uo, vo)av(xo, yo) (x0,y0) ax uo, vo)auxo, yo), af(uo, vo)av(o, yo) 证明 ·因为函数f(u,y)在(ao,°0)处可微, A=f(u+△,v+Av)-f(l2°0) =△+△v+0(Pm) 其中pn=√(△)2+(△v)2 其中,pn=√(△x)2+(△y) 求的两个偏导数 △-=(xny3)=(xn+△x,y0)-=(xy) △+ f △v+o() r△+y△ (△n)2+(△A)2 △x (o, yo)a au. a a a ax aax 理可证: af au a a aay a a 由对u,v的偏导数和a,v对x,y偏导数的连续性可推知,z对 xy两个偏导数创连续性,从而证明了的可微性 (三),两点说明 关于复合函数求导公式的条件:在证明复合函数求导公式时,定 理用的条件是所给函数偏导数连续,即满足函数是C的条件:当 然可以用比较宽松,但实际上无用的条件:所给函数是可微的。 证明时要用可微的定义,其证明过程长一点,但也没大的难度。 关于复合函数求导公式的矩阵表示 下面用矩阵关系表示复合函数求导公式 (1)二中二自多元复合函数求导公式的矩阵表示 (x,y) 则有 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 ( ) ( ) ( ) ( ) x v x y v f u v x u x y u f u v x z x y      +      = 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) , , , , 0 0   ( ) ( ) ( ) ( ) y v x y v f u v y u x y u f u v y z x y      +      = 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) , , , , 0 0   证明: ⚫ 因为函数 f (u,v) 在 ( , ) 0 0 u v 处可微， ( , ) ( , ) 0 0 z = f u + u v + v − f u v = ( ) o uv v v f u u f     +   +  = ( ) o uv v v f u u f     + 1   +  其中 2 2 ( u) ( v)  uv =  +  其中， 2 2 ( x) ( y)  xy =  +  ⚫ 求的两个偏导数: ( ) ( ) ( ) x z x x y z x y x z x y x  +  − =   0 0 0 0 0 0 , , , = ( ) x v o v f u u f uv   +   +     1 = ( ) x o x v v f x u u f uv  +    +       1 ( ) x o uv   1 = ( ) x u v o   +  2 2 ( ) ( ) 1 = (1) 0 0 2 2  ⎯⎯⎯→         +        x→ x v x u o ( ) x z x y   0 0 , = ( ) x z x y x x    → 0 0 0 , lim = x v v f x u u f    +      同理可证： ( ) y z x y   0 0 , = ( ) y z x y y y    → 0 0 0 , lim = y v v f y u u f    +      ⚫ 由 z 对 u, v 的偏导数和 u, v 对 x, y 偏导数的连续性可推知, z 对 x, y 两个偏导数创连续性，从而证明了 z 的可微性。 (三) ，两点说明 ⚫ 关于复合函数求导公式的条件：在证明复合函数求导公式时，定 理用的条件是所给函数偏导数连续，即满足函数是 1 C 的条件；当 然可以用比较宽松, 但实际上无用的条件：所给函数是可微的。 证明时要用可微的定义，其证明过程长一点，但也没大的难度。 ⚫ 关于复合函数求导公式的矩阵表示： 下面用矩阵关系表示复合函数求导公式: (1) 二中二自多元复合函数求导公式的矩阵表示 ( ) ( )  ( )   = = = v v x y u u x y z f u v , , , , 则有：

第二章多元函数微分法 a(: af au af av af au af av au ax av ax Ou ay av ay auau ar a ax dy_() a(u,v) uc川araa(a)l(x,y) ay 因为 af(uo, vo) au(xo,yo). af(uo, vo)av(xo, yo flu av(xo, yo) 0()|a(u duo, vo)auxo, yo). fluo, vo) av(o, yo) Ov Ov(xo,yo) a(n)|)() a ax fluo, vo)auo,vo av( au 40,V0 (2)m中n自多元复合函数求导公式的矩阵表示 u, xI,x 7=i()或{n=n2(x,x2,…x 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 ( ) (x y) z  ,  =         y z x z     = .             +         +     y v v f y u u f x v v f x u u f                               = y v x v y u x u v f u f = ( ) ( ) ( ) ( )       x y u v u v f , , , 因为： ( ) ( ) ( ) ( ) x v x y v f u v x u x y u f u v x z x y      +      = 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) , , , , 0 0   ( ) ( ) ( ) ( )                           = x v x y x u x y v f u v u f u v 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , , , , u v x y x u v u v f      ( ) ( ) ( ) ( ) y v x y v f u v y u x y u f u v y z x y      +      = 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) , , , , 0 0   ( ) ( ) ( ) ( )                           = y v x y y u x y v f u v u f u v 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , , , , u v x y y u v u v f      ( ) ( ) ( ) 0 0 , , x y x y z   = ( , ) 0 0 x y y z x z             ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                               = y v x y x v x y y u x y x u x y v f u v u f u v 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , , , , , u v x y x y u v u v f      (2) m 中 n 自多元复合函数求导公式的矩阵表示 ( , , , ), u1 u2 um y = f  ( ) ( ) ( )  ( )       = = = = m m n n n u u x x x u u x x x u u x x x u u x , , , , , , , , , , 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2        或 则有： (x) y    = ( ) ( ) ( ) (x) u u f        

第二章多元函数微分法 y y 0(x (3)m中n自多元复合向量函数求导公式的矩阵表示 fr(u 12=l2 则有: aF- aF a( 因为 a a(u a( of (x) au, 0000 fx: axn)kan of u, ou x Ofk afk ll, x aF ali 当只有一个自变量时,得到以下重要推论 推论设y=∫(a)=f(u42…,un)可微, i=i()=(a()…,u()可微,则 =0 dt af ai) (a) 例1已知y=() dy 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 (x) y    = ( ) n x x x y , , ,  1 2   =             n x y x y x y   1 2  = ( ) ( ) ( ) ( ) n m m x x u u u u f , , , , , , 1 1 1         = ( ) ( ) ( ) (x) u u f         (3) m 中 n 自多元复合向量函数求导公式的矩阵表示 ( ) ( ) ( )           = = k m m f u u u f u u u Y F u , , , , , , 1 2 1 1 2     ( ) ( ) ( )  ( )       = = = = m m n n n u u x x x u u x x x u u x x x u u x , , , , , , , , , , 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2        或 则有： (x) F    = ( ) ( ) (x) u u F         , 因为： (x) F    = ( ) ( ) n k x x f f , , , , 1 1     = k n n k k n x f x f x f x f                               1 1 1 1 = k n n m m n k n m k k m x u x u x u x u u f u f u f u f                                                              1 1 1 1 1 1 1 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) n m n m m k m k x x u u u u f f                        , , , , , , , , 1 1 1 1     = ( ) ( ) (x) u u F         . 当只有一个自变量时,得到以下重要推论: 推论 设 ( ) ( , , ) u1 um y f u f   = = 可微， ( ( ) ( )) T m u u(t) u t , ,u t 1    = = 可微，则 dt du u f dt dy i m i i =  = 1 = ( ) ( ) t u u f        例 1 已知 ) 1 ( 1 x y x − = ，求 dy dx

第二章多元函数微分法 解考虑二元函数y=l,=-, 应用推论得 =2血+h d x +(n u ) u 例2设二=∫(xy,-),∫二阶连续可微,求 u=xy, f=2,f2 fMl f1=f2 则 ax aa aa-V5'+7 f2 ar au aa 特别要注意的是 都是u,v的函数,所以 可)=2()+2() af 1 af vat a,yJ aaaaaaaa af. af )f+1 将以上两式代入前式得 x2=yfn+2f12+1 例3设二=(x,y)二阶连续可微,并且满足方程 2B 若令 u=stay v=x+By 试确定a,B为何值时能变原方程为 0 解将x,y看成自变量,,v看成中间变量,利用链式法则得 ax Ou ax Ov ax Ou av (Ou av 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 解 考虑二元函数 v y=u , u x v x = = − 1 1 , ，应用推论得 . dx dv v y dx du u y dx dy     = + (1 ln ). 1 1 (ln ) 1 1 2 2 2 1 x x x u u x v u x v v  −      + = − − − 例 2 设 z f xy x y = ( , )， f 二阶连续可微，求 x z 2 2   . 解 记 , , , , 1 2 v f f u f f y x u xy v     = =  =  = , , , 2 2 12 21 2 2 22 2 11 v u f f f v f f u f f         =  =  =  = 则 ( ). 1 ( ) ) 1 ( ) ( , 1 2 1 2 1 2 v f u y x f x y f y yf x x z x x z f y y f x v v f x u u f x z                           = + = = +  = + = +  特别要注意的是：     f u f v , 都是 u,v 的函数，所以 x v u f x v u u f u u f x                 ( ) = ( ) + ( ) = 11 12 2 2 2 1 1 f y y f u v f u y f y =  +   +     x v v f x v u v f v u f x                 ( ) = ( ) + ( ) = 2 11 22 2 2 1 1 f y y f v f u v y f y =  +   +     将以上两式代入前式得 f y y f f x z =  +  +  11 12 2 22 2 2 2 1 2   例 3 设 z = z(x, y) 二阶连续可微，并且满足方程 2 0 2 2 2 2 2 + =  − + y z C x y z B x z A       若令 ,    = + = + v x y u x y   试确定 ,  为何值时能变原方程为： 0 2 =    u v z . 解 将 x,y 看成自变量， u, v 看成中间变量，利用链式法则得 z v u v z u z x v v z x u u z x z         +   =   +   =     +     =   ;