第六章常微分方程 第六章常微分方程 6-3高阶线性方程 6-3-1高阶线性常系数方程的解 6-3-2 Euler方程 第二十三讲高阶线性常系数阶线性方程 6-3-1高阶线性常系数齐次方程的解 考察n阶线性常系数齐次方程 x +.+anx=0 di dtl dt 其中a12,an为实常数 或记成 L(Dx=0 由上一段的讨论知道方程L(D)x=0在区间(一∞,+)有n个线性无关解 通解是这些解的线性组合。 (一)特征方程 若L(D)x=0有形如y=e的解,则λ必须是代数方程 L()=x+ax-+…+a=0 之根 这个代数方程称为微分方程L(Dx=0的特征方程 (characteristic quation).特征方程的根称为特征根 (二)特征根与方程L(D)x=0解的对应关系 先以二阶为例说明结果: 微分方程:L2(D)x=y”+qy'+by=0 特征方程:L2()=2+a+b=0 (1),A1,元2是特征方程L2()=0的不等实根 则 是方程L2Dx=0的两个无关解 (2),A1=A2是特征方程L2()=0的重根 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 6-3 高阶线性方程 6-3-1 高阶线性常系数方程的解 6-3-2 Euler 方程 第二十三讲 高阶线性常系数阶线性方程 6-3-1 高阶线性常系数齐次方程的解 考察 n 阶线性常系数齐次方程 n n n n n n d x d t a d x d t a d x d t + + + +a x = − − 1 − 1 1 1 .... 0 其中 a1 ,...,an 为实常数. 或记成 L(D)x = 0 由上一段的讨论知道,方程 L(D)x = 0 在区间 (−,+) 有 n 个线性无关解, 通解是这些解的线性组合。 (一) 特征方程： ⚫ 若 L(D)x = 0 有形如 t y e = 的解，则 必须是代数方程 L( )= n n + a + + an = − 1 1 ... 0 之根。 这个代数方程 称为微分方程 L(D)x = 0 的 特征方程 (characteristic equation). 特征方程的根称为特征根. (二) .特征根与方程 L(D)x = 0 解的对应关系. 先以二阶为例说明结果： 微分方程: L2 (D)x = y + ay + by = 0 特征方程： ( ) 0 2 L2 = + a + b = (1), 1 2 , 是特征方程 L2 () = 0 的不等实根, 则 t t e e 1 2 , 是方程 L2 (D)x = 0 的两个无关解. (2), 1 = 2 是特征方程 L2 () = 0 的重根;
第六章常微分方程 则e,te是方程L2(D)x=0的两个无关解 (3),=a±1B是特征方程L2()=0的一对共轭复根 则e"Cost,e"Sint是方程L2(Dx=0的两个无关解 其中用到结果 设(1)=l(1)+ⅳv(1),定义它的导数为 dz du d dt dt 如果复值函数(1)=(1)+m(1)是齐次方程L(D)x=0的解,则 实部()和虚部v()都是L(D)x=0的实解 欧拉公式:e=e"(cOs身t+snf) 对n阶方程Ln(D)x=0 (1)设是特征方程L(x)=0的实根 则e“是方程Ln(D)x=0的实解 (2)设a土i6是特征方程的一对单重复根, 则ecos,e"Sn身是方程L(D)x=0的两个无关实解 (3).设是特征方程的k(1<k≤m)重实根 则e,le,…,t"e是方程Ln(D)x=0的个无关实解 (4).设aiB是特征方程的一对k(1<2k≤n)重复根 则e"' cos Br,e"snBt,…,te" cos BI,t' e sin Br 是方程L(Dx=0的2k个无关实解 由此可知:对应特征方程Ln()=0的n个根,包括重根,均能得到方程 Ln(Dx=0的n个线性无关解 例1:设H为实数求方程x"+x=0的通解 解:特征方程为x2+4=0 1y>0此时特征方程有一对单重复根=±i√,方程有两个无关解 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 则 t t e te 1 1 , 是方程 L2 (D)x = 0 的两个无关解. (3), = i 是特征方程 L2 () = 0 的一对共轭复根, 则 e Cost e Sin t t t , 是方程 L2 (D)x = 0 的两个无关解. 其中用到结果： ⚫ 设 z(t) = u(t) +iv(t) , 定义它的导数为 dz dt du dt i dv dt = + . 如果复值函数 z(t) = u(t) +iv(t) 是齐次方程 L(D)x = 0 的解, 则 实部 u(t) 和虚部 v(t) 都是 L(D)x = 0 的实解. ⚫ 欧拉公式： t t e = e (cos t +sin t) 对 n 阶方程 Ln (D)x = 0 (1). 设 是特征方程 Ln () = 0 的实根, 则 t e 是方程 Ln (D)x = 0 的实解. (2) 设 i 是特征方程的一对单重复根, 则 t t e cos t,e sin t 是方程 Ln (D)x = 0 的两个无关实解. (3). 设 是特征方程的 k(1 k n) 重实根, 则 t t k t e ,te ,...,t e −1 是方程 Ln (D)x = 0 的 k 个无关实解. (4). 设 i 是特征方程的一对 k(1 2k n) 重复根, 则 e t e t t e t t e t t t k t k t cos , sin , , cos , sin −1 −1 是方程 Ln (D)x = 0 的 2 k 个无关实解. 由此可知：对应特征方程 Ln () = 0 的 n 个根，包括重根, 均能得到方程 Ln (D)x = 0 的 n 个线性无关解. 例 1:设 为实数,求方程 x + x = 0 的通解. 解: 特征方程为 2 + = 0. 1. 0,此时特征方程有一对单重复根 = i , 方程有两个无关解 i t e cos t,sin t
第六章常微分方程 因此方程的通解为ccos√4+csin√(c2c∈R 2.=0,此时特征方程有一个二重根=0.方程有两个线性无关解 q(1)=1,2()=t,于是方程为x(1)=c+c1 3.<0.时特征方程有两个单重根λ=±√-/.方程有两个线性无关解 cP,e,且方程通解为x()=ce+ce 例2:求方程x"-x=0的通解 解:特征方程为-1=0.它有四个单根A2=±1,Ax=±i 该方程有四个线性无关解e,e",cost,snt 因此方程通解为x(D)=ce+ce+ c cost+csnt 例3:求方程x"-3x”+3x-x=0通解 解:特征方程-3x2+3-1=0有一个三重根λ=1 于是方程有三个线性无关解e,te,te 所以通解为 x(t)=ce+cte+ote=(a+ct+cte 例4:求方程x4)+2x(2)+x=0通解 解:特征方程+22+1=(42+1)2=0它有一对二重复根± 于是该方程有四个线性无关解cost,sint, t cost,tsnt 所以通解为 x(o=(C1+C3t)cost+(c2+4t)sin t 6-3-2高阶线性常系数非齐次方程的解 现在讨论线性常系数非齐次方程 d x d. d +…+anx=f(1) dt dr 其中a,a为实常数,f(D)是已知连续函数 方程可记成:Ln(D)x=f() 若相应的齐次方程Ln(D)x=0的一般解是:x()=∑cx,(,因此 如果又能够求得Ln(D)x=f()的一个特解Y(),就能够写出其通解: x()=x()+y()=∑ cx.()+ 般情况下可以用常数变异法根据L(Dx=0的通解求出 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 因此方程的通解为 c1 cos t + c2 sin t(c1 ,c2 R). 2. = 0, 此时特征方程有一个二重根 = 0. 方程有两个线性无关解 1 1 2 (t) = , (t) = t, 于是方程为 x(t) = c1 + c2 t. 3. 0,时特征方程有两个单重根 = − . 方程有两个线性无关解 −t − −t e ,e , 且方程通解为 x(t) c e c e −t − −t = + 1 2 . 例 2: 求方程 (4) x − x = 0 的通解. 解: 特征方程为 4 −1 = 0. 它有四个单根 1,2 1 3,4 = , = i . 该方程有四个线性无关解 t t e ,e ,cost,sin t − . 因此方程通解为 x t c e c e c t c t t t ( ) = + + cos + sin − 1 2 3 4 . 例 3 :求方程 x −3x +3x − x = 0 通解. 解: 特征方程 3 2 − 3 +3 −1 = 0 有一个三重根 = 1 . 于是方程有三个线性无关解 t t t e ,t e ,t e 2 , 所以通解为 x t c e c t e c t e c c t c t e t t t t ( ) = 1 + 2 + 3 = ( + + ) 2 1 2 3 2 . 例 4:求方程 ( ) ( ) 2 0 4 2 x + x + x = 通解. 解:特征方程 2 1 ( 1) 0 4 2 2 2 + + = + = .它有一对二重复根 i . 于是该方程有四个线性无关解 cost,sin t,t cost,tsin t . 所以通解为 x(t) (c c t)cost (c c t)sin t = 1 + 3 + 2 + 4 . 6-3-2 高阶线性常系数非齐次方程的解 现在讨论线性常系数非齐次方程 n n n n n n d x d t a d x d t a d x d t + + + +a x = f t − − 1 − 1 1 1 .... ( ) 其中 a1 ,...,an 为实常数, f (t) 是已知连续函数. 方程可记成： L (D)x f (t) n = . 若相应的齐次方程 Ln (D)x = 0 的一般解是： ( ) ( ) = = n i i i x t c x t 1 , 因此, 如果又能够求得 L (D)x f (t) n = 的一个特解 Y(t), 就能够写出其通解: x(t) x(t) Y(t) c x (t) Y(t) n i = + = i i + =1 一般情况下可以用常数变异法根据 Ln (D)x = 0 的通解求出
第六章常微分方程 Ln(D)x=f()的一个特解但对于右端函数f(1)属于某些简单类型时, 可以用观察侍定方法求非齐次的一个特解.下面我们以二阶方程为例说明这 种方法.对于高阶方程也可以类似地求解 考察二解线性常系数方程 2(D)x=+a+bx=f() 假定右端函数具有形式 f(t=P(t)e 其中P(1)是t的一个多项式 比较系数法的出发点是假定方程L2(D)x=P(e有一个形如 x()=Q()e 的解,其中Q()是t的一个多项式.问题是如何确定Q(1)的次数和系数 根据解的概念,将x(1)=Q)e代入方程L2(D)x=P(e 只要的系数设定适当,通过比较两端的多项式的系数就可以最后求出 Q(t),从而求出非齐次的一个特解 由(3.19)得到 将x()=Q()e代入方程L2(Dx=P(k,得 Qv()+(2a+a)Q(t)+(a2+a+b)Q(t)=P(l)(*) 下面分三种情形讨论 (1)当α不是特征根时,即a2+a+b≠0 (*)左端是一个次数与Q()相同的多项式.于是为了使(*)两端多项 式次数相等,Q()应当是一个与P(1)次数相同的多项式 (2).当a是特征根,但非重根时,即a2+aa+b=0,2a+a≠0 (*)左端是一个次数与Q'()相同的多项式.于是为了使(*)两端多 项式次数相等,Q()应当是一个比P(1)次数高一次的多项式 此时可以取 O(0)=tR(t) 这里R(1)是一个次数与P(t)相同的多项式 (3).当a是特征堇根时,即a2+a+b=0,2a+a=0 (*)左端是Q"(t).于是为了使(*)两端多项式次数相等, Q(t)应当是一个比P(1)次数高二次的多项式 此时可以取 Q()=tR(1) 例5:求方程x”+x'=2t2+1的通解 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 L (D)x f (t) n = 的一个特解. 但对于 右端函数 f (t) 属于某些简单类型时, 可以用观察侍定方法求非齐次的一个特解. 下面我们以二阶方程为例说明这 种方法. 对于高阶方程也可以类似地求解. 考察二解线性常系数方程 L (D)x 2 = 2 2 d x d t a dx dt + +bx = f (t) 假定右端函数具有形式 t f t P t e ( ) = ( ) 其中 P(t) 是 t 的一个多项式. 比较系数法的出发点是假定方程 ( ) ( ) t L D x P t e 2 = 有一个形如 t x t Q t e ( ) = ( ) 的解, 其中 Q(t) 是 t 的一个多项式. 问题是如何确定 Q(t) 的次数和系数. 根据解的概念 , 将 t x t Q t e ( ) = ( ) 代入方程 ( ) ( ) t L D x P t e 2 = , 只要的系数设定适当，通过比较两端的多项式的系数就可以最后求出 Q(t), 从而求出非齐次的一个特解. 由(3.19)得到 将 t x t Q t e ( ) = ( ) 代入方程 ( ) ( ) t L D x P t e 2 = , 得 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q t + + a Q t + + a + b Q t = P t (*) 下面分三种情形讨论. (1) 当 不是特征根时, 即 0 2 + a + b (*) 左端是 一个次数与 Q(t) 相同的多项式. 于是为了使(*) 两端多项 式次数相等, Q(t) 应当是一个与 P(t) 次数相同的多项式. (2) . 当 是特征根, 但非重根时, 即 0 2 + a + b = , 2 + a 0 (*) 左端是 一个次数与 Q(t) 相同的多项式. 于是为了使(*) 两端多 项式次数相等, Q(t) 应当是一个比 P(t) 次数高一次的多项式. 此时可以取 Q(t) = tR(t), 这里 R(t) 是一个次数与 P(t) 相同的多项式. (3) . 当 是特征堇根时, 即 0 2 + a + b = , 2 + a = 0 (*) 左端是 Q(t). 于是为了使(*) 两端多项式次数相等, Q(t) 应当是一个比 P(t) 次数高二次的多项式. 此时可以取 ( ) ( ) 2 Q t = t R t , 例 5:求方程 2 1 2 x + x = t + 的通解
第六章常微分方程 解:间方程写作x"+x'=(21+1)e 因为=0是特征方程A+2=0的单根所以应当寻找方程形如 co(o=t(at"+bt+c)e bt -+ 的特解将这个解代入原方程得到 2b)=2t-3 比较两端同次项的系数得到 a=2,2b+6a=0,c+2b=-3 2 解这个方程组得到a==,b=-2,c=1.从而得到原方程的一个特解 2t2+t 又求得相应的齐次方程x+x=0的通解 x(1)=a+ce所以方程通解为 x(n=c+oe+=t'-2t+t 例6:解方程x"-2x+x=4e 解:A=1是特征方程-2A+=0的重根,设特解为 xo(t)=t(at +be 将这个解代入方程得到(6a+2b)e=4te 比较系数得到a=5,b=0.于是得到方程的一个特解Y()=te 相应地齐次方程的通解是x(1)=(a+c21)e.因此原方程的通解为 2 x(1=(c+c2De+t'e 例7:解方程x-x=4c0st, 解1:考虑方程 x-x=4e=4(cost +isnt) 这个方程的解是复值函数,其实部就是题设方程的解 现在首先求解方程x-x=4e=4(cost+isnt),由于虚数i不是 特征方程2-A=0的根,所以对于此方程应当寻求形如 x(1)=(4+iB)e 的特解(A,B为实常数)将这个解,比较系数,得到 2(A+iB)e=4e 由此得到A=2,B=0,于是求出x-x=4e=4(cost+isnt) 的一个特解为 它的实部-2cost,就是题设的一个特解 另外又求得相应的齐次方程x-x=0的通解,x=ce+ce 因此所求之的通解为x=ce+ce-2cost 解2:形如x+ax+bx=P(t)e( d, cosBt+ d 2 sin Bi) 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 解: 间方程写作 t x x t e 0 + = (2 +1) . 因为 = 0 是特征方程 2 + = 0 的单根,所以应当寻找方程形如 x t t at bt c e at bt ct t = + + = + + 2 0 3 2 0 ( ) ( ) 的特解.将这个解代入原方程得到 3 2 6 2 2 3 2 2 at +( b+ a)t +(c+ b) = t − 比较两端同次项的系数得到 3a = 2,2b + 6a = 0,c + 2b = −3. 解这个方程组得到 a = b = − c = 2 3 , 2, 1. 从而得到原方程的一个特解 0 2 3 2 3 x (t) = t − 2t + t. 又求得相应的齐次方程 '' ' x + x = 0 的通解 x t c c e t ( ) = + − 1 2 .所以方程通解为 x t c c e t ( ) = + − 1 2 + − + 2 3 2 3 2 t t t. 例 6: 解方程 t x − 2x + x = 4te . 解: = 1 是特征方程 2 − 2 + = 0 的重根, 设特解为 0 2 x t t at b e t ( ) = ( + ) 将这个解代入方程得到 (6at 2b)e 4t e t t + = . 比较系数得到 a = b = 2 3 , 0. 于是得到方程的一个特解 t Y t t e 3 3 2 ( ) = . 相应地齐次方程的通解是 x t c c t e t ( ) = ( 1+ 2 ) . 因此原方程的通解为 x t c c t e t ( ) = ( 1+ 2 ) + 2 3 3 t e t . 例 7:解方程 '' x − x = 4cost, 解 1:考虑方程 '' x x e (cost isin t) it − = 4 = 4 + 这个方程的解是复值函数,其实部就是题设方程的解. 现在首先求解方程 '' x x e (cost isin t) it − = 4 = 4 + , 由于虚数 i 不是 特征方程 2 − = 0 的根, 所以对于此方程 应当寻求形如 x0 t A iB e it ( ) = ( + ) 的特解( A,B 为实常数).将这个解,比较系数, 得到 −2(A+iB)e = 4e it it . 由此得到 A = 2,B = 0, 于是求出 '' x x e (cost isin t) it − = 4 = 4 + 的一个特解为 x0 t 2e it ( ) = − . 它的实部−2cost ,就是题设的一个特解. 另外又求得相应的齐次方程 '' x − x = 0 的通解, x c e c e t t = + − 1 2 , 因此所求之的通解为 x c e c e t t t = + − − 1 2 2cos . 解 2: 形如 '' ' x a x bx P(t)e (d cos t d sin t) t + + = + 1 2