清华大学：《微积分》课程教学资源_第二章习题讨论1

第二章多元函数 第二章多元函数 2-3习题讨论 2-3-1讨论题 2-3-2参考解答 习题讨论 题目 ()设xn,yn∈R”,且lmx, =y,证明 (1)lim(n,jn)=(,j) (2)函数/(元,y)=(,y在R×R”中连续。 (二)在长方体T内任取一点M0,是否一定存在一张过点M0的平面 ∏,将该长方体恰分成两等份。 (三)设集合ABcR",证明 (1)(A⌒B=AP⌒B°; (2)(A∪B)=A∪B (四)讨论多元极限: 2 (1)lm(1+x) (五)证明:若 a)重极限lmf(x,y)存在 b)累次极限的内层极限lmf(x,y)=o()存在 则累次极限lmmf(x,y)=lm()存在,且与重极限相 同 解答参考 第二章多元函数

第二章 多元函数 第二章 多元函数 1 第二章 多元函数 2-3 习题讨论 2-3-1 讨论题 2-3-2 参考解答 习 题 讨 论 题 目 (一) 设 n x n yn  R   , , 且 x x y y n n n n     = = → → lim , lim , 证明: (1) (x y ) (x y) n n n     lim , = , → ; (2) 函数 f (x y) (x y)     , = , 在 n n R  R 中连续。 (二) 在长方体 T 内任取一点 M0 ，是否一定存在一张过点 M0 的平面  ，将该长方体恰分成两等份。 (三) 设集合 n A,B  R , 证明: (1) ( ) o o o A B = A  B ; (2) (A B) = A  B (四) 讨论多元极限： (1) ( ) ( ) ( ) x y x x x y +  + → 1 3 lim 1 , 0,0 , (2) x x y x y y x         + → → 2 2 2 lim (五) 证明：若 a)重极限 f (x y) y y x x lim , 0 0 → → 存在, b) 累次极限的内层极限 f (x y) (y) x x = → lim , 0 存在, 则 累次极限 f (x y) (y) y y x x y y  0 0 0 lim lim , lim → → → = 存在, 且与重极限相 同。 解 答 参 考 (一) 设

第二章多元函数 xn,yn∈R",且lmxn=x,lmyn=y,证明: (1)im(n,元)=(x,y (2)函数/(,j)=(,在R"×R"中连续 证明:()/,元)-=(,)-,b)+(,b)-.b (G,)-,b)+1,5)-.b sG,-b)+(,-a 帐,-b+K,-a) (2)ⅵ,j∈R",→x,j→j→lm(n,元)=(,y) 在 长方体T内任取一点M0,是否一定存在一张过点M的 平面∏,将该长方体恰分成两等份 解:一定存在。 过点M0(xa,y0,=0)作平面 r:a(x-x)+b(v-y0)+c(z-z0)=0, 相应的法向是:n=at+bj+ck 将长方体T分为两部分T,72,其体积对应为V1,H2 其中T是n指向的这部分:T2是一n指向的这部分, 做函数:fG)=f(anb,c)=V1-2 如果,f()=/(ab,c)=F1-72=6>0 则必,f(-)=f(-a-5-a)=F2-F=-6<0 曲多元连续函数介值定理 →3∈(01)i0=An+(1-4(-n):f()=0 第二章多元函数

第二章 多元函数 第二章 多元函数 2 n x n yn  R   , , 且 x x y y n n n n     = = → → lim , lim , 证明: (1) (x y ) (x y) n n n     lim , = , → ; (2) 函数 f (x y) (x y)     , = , 在 n n R  R 中连续。 证明：(1) (x y ) (a b) (x y ) (x b) (x b) (a b) n n n n n n             , − , = , − , + , − , (x y ) (x b) (x b) (a b) n n n n          , − , + , − , xn (yn b) (xn a)b        − + − xn (yn b) (xn a) b        − + − ; (2) n x y  R   , , x x y y n n     → , →  (x y ) (x y) n n n     lim , = , → (二) 在 长方体 T 内任取一点 M0 ，是否一定存在一张过点 M0 的 平面  ，将该长方体恰分成两等份。 解：一定存在。 过点 M0 ( ) 0 0 0 x , y ,z 作平面  : a(x − x0 )+ b(y − y0 )+ c(z − z0 ) = 0 , 相应的法向是： n a i b j c k     = + + 将长方体 T 分为两部分 1 2 T ,T ，其体积对应为 1 2 V ,V , 其中 T1 是 n  指向的这部分； T2 是 n  − 指向的这部分, 做函数： ( ) ( ) 1 2 f n = f a,b,c =V −V  . 如果, f (n) = f (a,b,c ) =V1 −V2 =   0  , 则必, f (− n) = f (− a,−b,−c ) =V2 −V1 = −  0  , 曲多元连续函数介值定理 ( ) n n ( )( n)       0,1 , 0 =  + 1−  − : f (n0 ) = 0  (三) 设

第二章多元函数 集合A,BcR",证明 (1)(A∩B)=A°∩B 证明 "→":Vx∈AB0,xcA,x∈B0 →U(x)cAU2(x)cB →U2(x)cA∩B→xc(AB); x∈(A∩B),3U6(x)cA∩B →U(x)<A,U(x)cB →U(x)cA∩B→U。(x)A,U(x)cB →xcA0xcB0→x∈A°AB° (2)(A∪B)=A∪B 证明: ":x∈A∪B,x∈A,orx∈B 彐xm→>x,xm∈A,orxm→>x,xm∈B xm∪m→x,xmUm∈A∪B →x∈A∪B vx∈(A∪ →彐xm→x,xn∈A∪B →彐xmm→>x,xm∈A, orax>x,xm∈B x∈A,x∈B→Vx∈A∪B (四) 讨 论多元极限: 第二章多元函数

第二章 多元函数 第二章 多元函数 3 集合 n A,B  R , 证明: (1) ( ) o o o A B = A  B ; 证明： "": 0 0 0 0 x A  B , x  A , x B U (x)  A U (x)  B 1 2 ,   U (x)  A B ( ) 0  x  A  B ; "": x (A B) , U (x)  A B 0 U (x)  A, U (x)  B U (x)  A B U (x)  A, U (x)  B 0 0 0 0  x  A , x  B  x  A  B (2) (A B) = A  B 证明： "": x  A  B, x  A, or x  B   xm → x, xm  A, or xm  → x, xm   B  xm m → x, xm m  A B  x (A B) ; "": x (A B)   xm → x, xm  A B x x, x A, or x x, x B,   m m → m    m m → m    x  A, x  B  x  A  B (四) 讨 论多元极限：

第二章多元函数 (1)im(1+x)=lmn(+x) (2) lim(-2xy y 当x=y,m/-2xy y=2r, lim/2xy = lim (五)证明:若 a)重极限Imf(x,y)=A存在, b)累次极限的内层极限mf(x,y)=(v)存在 对y是一致的 则累次极限mlmf(x,y)=lm列(y)=A,且与重极限相 同 证明:VE>0,(x)-4=(x)-f(x,y)+f(x,y)-4 ≤(x)-f(x,y)+(x,y)-4; m/(xy)=o()是一致的→ 三δ>0不依靠y,x-x|<6,(x)-/(x,y)≤5 lim f(x,y)=A= 3δ>0,x-x<6,}y-yl<6,|(x,y)-4≤5 VE>0, x-xo<8,y-yo <8, o(x)-4=o(x)-f(x,y)+f(xy)-4 ≤px)-f(x,y)+(xy)-A≤E 第二章多元函数

第二章 多元函数 第二章 多元函数 4 (1) ( ) ( ) ( ) xy x x x y + + → 1 3 lim 1 , 0,0 = ( ) ( ) lim (1 ) 1 0 , 0,0 1 4 1 + = = + → x e xy x x x y (2) x x y x y y x         + →+ →+ 2 2 2 lim . 当 x = y , 1 2 2 lim 2 lim 2 2 2 2 =         =         + →+ →+ →+ x x x x x y x y x y x ; 当 y = 2x , 0 5 4 lim 5 4 lim 2 lim 2 2 2 2  =      =         =         + →+ →+ →+ →+ x x x x x y x x x x y x y (五)证明：若 a)重极限 f (x y) y y x x lim , 0 0 → → = A 存在, b) 累次极限的内层极限 f (x y) (y) x x = → lim , 0 存在, 对 y 是一致的. 则 累次极限 f (x y) (y) y y x x y y  0 0 0 lim lim , lim → → → = = A , 且与重极限相 同。 证明：   0, (x)− A = (x)− f (x, y)+ f (x, y)− A  (x)− f (x, y) + f (x, y)− A ; f (x y) (y) x x = → lim , 0 是一致的    0 不依靠 y , ( ) ( ) 2 , , 0  x − x    x − f x y  ; f (x y) y y x x lim , 0 0 → → = A    0 , ( ) 2 , , , 0 0  x − x   y − y   f x y − A  .    0, x − x0   , y − y0   , (x)− A = (x)− f (x, y)+ f (x, y)− A  (x)− f (x, y) + f (x, y)− A  