将(1)变形为dsl dx 得 =In cx 从而Cx=g2=c2x2 例4所给出的方程是一种特殊类型的方程, 其一般形式为y=f X 这类方程称作齐次微分方程,这类方程可采用变换 u 将其转化为可分离变量方程 前页后页结束
前页 后页 结束 1 u u x d d x = Cx u ln 2 2 = 2 2 2 2 2 x u y Cx = e = e 例4所给出的方程是一种特殊类型的方程， 其一般形式为 ( ) y y f x = 这类方程称作齐次微分方程，这类方程可采用变换 x y u = ，将其转化为可分离变量方程． 将(1)变形为 得 从而
93一阶微分方程与可降 阶的高阶微分方程 931一阶线性微分方程 定义形如y+p(x)y=q(x) (931) 的微分方程,称为一阶线性微分方程 特征i)y和y都是一次的 i)、q仅是x的函数 如果qx)=0则(931)变为y+p(x)y=0(932) 称为一阶线性齐次方程 前页后页结束
前页 后页 结束 9.3 一阶微分方程与可降 阶的高阶微分方程 9.3.1 一阶线性微分方程 特征 i) y和y 都是一次的 ii) p、q仅是x的函数 如果q(x)=0,则(9.3.1) 变为 y + p(x) y = 0 （9.3.2） 称为一阶线性齐次方程． 的微分方程，称为一阶线性微分方程． 定义 形如 y + p(x) y = q(x) （9.3.1）
而q(x)≠0时,(931)式称为一阶线性非齐次方程 下面介绍利用参数变易法求方程(9.3.1)的通解 首先求方程(931)所对应的次线性方程(932) 的通解 (932)是变量可分离的方程,容易求得它的通解 d p(x)dx Iny=-]p(x)dx+In p(x)dx 即 C 前页后页结束
前页 后页 结束 而q(x) 0时， （9.3.1）式称为一阶线性非齐次方程． 下面介绍利用参数变易法求方程（9.3.1）的通解． 的通解． 首先求方程（9.3.1）所对应的齐次线性方程（9.3.2） （9.3.2）是变量可分离的方程，容易求得它的通解 d ( ) d y p x x y = − 1 ln ( ) d ln y p x x C = − + = − p x dx y C e ( ) 即 1
令C=C(x2于是y=Cxr dy dC(x)- ×无法 e jp(x)dx p(xdx p(xc(x)e d dx 把它们代入方程(9.31),得 dci(x)plr)dx p(x)dx p(x)dx p(rci(x)e +p(xCi(x)e dx dC(x)p(x)dx x)d e q(x)C(x)= q(x)e dx+C 故(931)式的通解为 P(x)dx p(xdx glx)e dx+c (933) 前页后页结束
前页 后页 结束 ( )d 1 ( ) p x x y C x e− 令C1 = C1 (x)， 于是 = ( )d ( )d 1 1 d d ( ) ( ) ( ) d d y C x p x x p x x e p x C x e x x − − = − ( )d 1 d ( ) ( ) d C x p x x e q x x − = ( )d 1 ( ) ( ) d p x x C x q x e x C = + ( )d ( )d ( )d 1 1 1 d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C x p x x p x x p x x e p x C x e p x C x e q x dx − − − − + = 把它们代入方程（9.3.1），得 故（9.3.1）式的通解为 ( )d ( )d ( ) d p x x p x x y e q x e x C − = + （9.3.3）