生二、线性变换在给定基下的矩阵 定义1设T是线性空间V中的线性变换,在Vn 中取定一个基a1,a2,…,an,如果这个基在变换T 下的象为 T(a,=auai+a2a,+.+aman, T(a2)=a12x1+a202 ……+an2 n n5 T(am)=a,a,+a,n,++arm,a 上页
( ) ( ) ( ) = + + + = + + + = + + + , , , 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 n n n nn n n n n n T a a a T a a a T a a a 二、线性变换在给定基下的矩阵 定义１ 设 是线性空间 中的线性变换，在 中取定一个基 ，如果这个基在变换 下的象为 Vn Vn n , , , 1 2 T T
生记a1,,)((7(b,a)上式 可表示为 T(x1,a2…,an)=(a1,a2,…,an)A 12 n 其中 4= 21 22 2n n2 n 那末,A就称为线性变换T在基1,C2,,On下的 矩阵 上页
其中 , 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n a a a a a a a a a A T(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )A 记T(1 , 2 , , n ) = (T(1 ),T( 2 ), ,T( n )), 上式 可表示为 那末， 就称为线性变换 在基 下的 矩阵． n A T 1 , 2 , ,
显然矩阵4由基的象T(a1…,T(an)唯一确定 现在,假设4是线性变换T在基a1,a2,…,an下 的矩阵也就是说基a1;a2,…,an在变换T下的象为 T(a1,c2,…,cn)=(a1,a2,…,an)4 那么,变换T需要满足什么条件呢? 上页
, ( ), , ( ) . 显然 矩阵A由基的象T 1 T n 唯一确定 , ? ( , , , ) ( , , , ) , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 那么 变换 需要满足什么条件呢 的矩阵 也就是说基 在变换 下的象为 现在 假设 是线性变换 在基 下 T T A T A T n n n n =
Va∈Vn,设a=∑x;a;,有 T T ∑: ∑ rila l: 1 1 T(aD, T(a2),,,,T(am) (x0….42x410)= 上
,设 ,有 1 i n i V n = xi = T() ( ) 1 i n i = T xi = = = n i xiT i 1 ( ) = x x x T T T n n 2 1 1 2 ( ( ), ( ), , ( )) ( , , , ) , 2 1 1 2 = x x x A n n
即 1 r|(a1a2,,anx21=(a1a2“,an)42 en 上式唯一地确定了一个变换T,并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换 以4为矩阵的线性变换由上式唯一确定 上页
( , , , ) ( , , , ) . 2 1 1 2 2 1 1 2 = x x x A x x x T n n n n 即 . , 变换 是以 为矩阵的线性变换 上式唯一地确定了一个变换 并且所确定的 T A T 以A为矩阵的线性变换T由上式唯一确定