上式得Hx=±|xl2y 此定理表明,对任一非零向量x,都可以构造 Householder变换,它将x变成事先给定的单位 向量的倍数。特别地取y=e,则x经过H fuseholder 变换后可变成只有一个分量不为零。实际计算时, 为避免误差取 x-(±|x12y) X+ → ‖x|1y 2 x+lle, sign(x, +x) e sign(
2 2 2 2 2 2 2 . , , ( ) i Hx x y x Householder x y e x Householder x x y x x y w w x x y x x y = = − = = 上式得 此定理表明，对任一非零向量 都可以构造 一个 变换，它将 变成事先给定的单位 向量的倍数。特别地取 则 经过 变换后可变成只有一个分量不为零。实际计算时， 为避免误差取 2 2 2 ( ) ( ) i i i i x x e sign x w x x e sign x + = +
化一般矩阵为拟上三角阵 称形如 h h,n,- h, h 2i hhh h, h H h 的矩阵为拟上三角阵,也称为上海森堡( Hessenberg) 阵。如果次对角线元h-1(=2,3…,m)全不为零,则称该 矩阵为不可约的上 Hessenberg矩阵。 讨论用 Householder变换将一般矩阵A相似变换成 Hessenberg 阵
三、化一般矩阵为拟上三角阵 11 12 1 1 1 21 22 2 1 2 32 33 3 1 1 ( 2,3, , ) , Householder n n n n n nn nn ii h h h h h h h h H h h h h h h i n A − − − − = = 称形如 的矩阵为拟上三角阵，也称为上海森堡（Hessenberg) 阵。如果次对角线元 全不为零 则称该 矩阵为不可约的上Hessenberg矩阵。 讨论用 变换将一般矩阵 相似变换成 Hessenberg阵
首先,选取矩阵H1使得经H相似变换后的矩阵 H1AH的第一列中有尽可能多的零元素。为此 应取H1为如下形式H1 其中H为n-1阶 Householder矩阵。于是有 H H1AH、Ha1H142B1其中a=(a1,a31,…an 由上节定理,只要取H1使得H1a1=a(1,0,…,0),就会 使得变换后的矩阵H1AH的第一列出现n-2个零元
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 1 1 21 31 1 1 1 1 22 1 22 2 12 13 1 22 , 1 0 0 0 0 1 ( , , , ) , ( , , , ) , T T n T n H H H AH H H H H n Householder a a H H AH a a a a H a H A H a a a a a A = − = = = = 首先，选取矩阵 使得经 相似变换后的矩阵 的第一列中有尽可能多的零元素。为此， 应取 为如下形式 其中 为 阶 矩阵。于是有 其中 2 2 1 1 1 1 1 . (1,0, ,0) , 2 n n nn T a a a H H a H AH n = − 由上节定理，只要取 使得 就会 使得变换后的矩阵 的第一列出现 个零元
为避免在计算时会产生较大的误差取 a+a,,e,sign(,) a1+| a,l,e, sig(a)儿 >HI (Hia,=a,,,sign(a, ) H 同理,可构造如下列形式 Householder矩阵 100 010 水水 ●香 H2=00 使得H2H1AH1H2 水水 00 如此进行n-2次,可以构造n-2个 Householder矩阵H1H2 Hn2使得Hn2…H2H1AH1H2…Hn2=H 其中H为上 Hessenberg矩阵。特别地,当A为实对称矩阵,则 经过上述正交变换后,H变为三对角阵
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 , ( ) ( ( ) ) ( ) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 w a a e sign a w H H a a e sign a a a e sign a H Householder H H + = = + = 为避免在计算 时会产生较大的误差 取 。 同理，可构造如下列形式 矩阵 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 * * * * * * * * * * * * * 2 2 , , , , . n n n H H AH H n n Householder H H H H H H AH H H H H Hessenberg A H − − − = − − = 使得 * 如此进行 次，可以构造 个 矩阵 使得 其中 为上 矩阵。特别地，当 为实对称矩阵，则 经过上述正交变换后， 变为三对角阵