3.2.1 Green公式 (2)Green公式 设2，T性质同上，u,v∈C1(2n)nC2(2),则 6∬4wn=小六-∬ duav dudv duov dn c∬u-aan=(品-）as 证明 在Gaus公式中令p-u0Q-u y ay即得G1 合图圆
3.2.1 Green公式 （2）Green 公式 设𝛺,𝛤性质同上，𝑢, 𝜈 ∈ 𝐶 1 𝛺 ∩ 𝛤 ∩ 𝐶 2 𝛺 ，则 𝐺1 :ම 𝛺 𝑢𝛥𝜈 ⅆ𝛺 = ඵ 𝛤 𝑢 𝜕𝜈 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 −ම 𝛺 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝜈 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝜈 𝜕𝑦 + 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝜈 𝜕𝑧 ⅆ𝛺 𝐺2 :ම 𝛺 𝑢𝛥𝜈 − 𝜈𝛥𝑢 ⅆ𝛺 = ඵ 𝛤 𝑢 𝜕𝜈 𝜕𝑛 − 𝜈 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 证明 在Gauss公式中令P= 𝑢 𝜕𝜈 𝜕𝑥,Q= 𝑢 𝜕𝜈 𝜕𝑦 , 𝑅 = 𝑢 𝜕𝜈 𝜕𝑧即得𝐺1
3.2.1 Green公式 (3)例 应用G2公式推导如下积分公式：设u是2上的调和函数（△u=0),则 0 MoEQ 2πu(Mo) M∈T 4πu(Mo) MoE0 其中M是2内的动点，设M(x,y,z),M(xo,yo,Zo), TMoM=(x-xo)2+(y-yo)2+(z-Z0)2 合剑
3.2.1 Green公式 (3)例 应用𝐺2公式推导如下积分公式：设𝑢是𝛺上的调和函数(𝛥𝑢 = 0)，则 −ඵ 𝛤 𝑢 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟𝑀0𝑀 − 1 𝑟𝑀0𝑀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 = ൞ 0 𝑀0𝜖𝛺ҧ 2𝜋𝑢 𝑀0 𝑀0 ∈ 𝛤 4𝜋𝑢 𝑀0 𝑀0 ∈ 𝛺 其中M是𝛺内的动点，设𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 ，𝑀0 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ， 𝑟𝑀0𝑀 = 𝑥 − 𝑥0 2 + 𝑦 − 𝑦0 2 + 𝑧 − 𝑧0 2
3.2.1 Green公式 证明 函数1是一个除去点M,以外处处调和的.即有4(1） =0(除M外) TMOM a. 当Mo2时 在6中，取y三代入，有 品{(d删es=a(+创a如=0 合圆
3.2.1 Green公式 证明 函数 1 𝑟𝑀0𝑀 是一个除去点𝑀0以外处处调和的.即有𝛥 1 𝑟𝑀0𝑀 = 0 除𝑀0外 . a. 当𝑀0𝜖𝛺ҧ 时 在𝐺2中，取𝑉 = 1 𝑟𝑀0𝑀 代入，有 ඵ 𝛤 𝑢 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟𝑀0𝑀 − 1 𝑟𝑀0𝑀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝑑𝑆 = ම 𝛺 𝑢𝛥 1 𝑟𝑀0𝑀 + 1 𝑟𝑀0𝑀 𝛥𝑢 𝑑𝛺 = 0
3.2.1 Green公式 b.当Mo∈2时 函数1一在2内有奇点M。,则在2内不能直接用G2。此时，做一个以M为心， TMOM 以充分小e>0为半径的小球Kc2,则在剩下的区域2\Ke内，用G2: -(開夏()+4= 即 {如=》别 ou ds (*) 合
3.2.1 Green公式 b.当𝑀0 ∈ 𝛺时 函数 1 𝑟𝑀0𝑀 在𝛺内有奇点𝑀0，则在𝛺内不能直接用𝐺2。此时，做一个以𝑀0为心， 以充分小𝜀 > 0为半径的小球𝐾𝜀 ⊂ 𝛺，则在剩下的区域𝛺 ∖ 𝐾𝜀内，用𝐺2： − ඵ 𝛤∪𝛤𝜀 𝑢 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟𝑀0𝑀 − 1 𝑟𝑀0𝑀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝑑𝑆 = − ම 𝛺∖𝐾𝜀 𝑢𝛥 1 𝑟𝑀0𝑀 + 1 𝑟𝑀0𝑀 𝛥𝑢 𝑑𝛺 = 0 即 −ඵ 𝛤 𝑢 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟𝑀0𝑀 − 1 𝑟𝑀0𝑀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝑑𝑆 = ඵ 𝛤𝜀 𝑢 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟𝑀0𝑀 − 1 𝑟𝑀0𝑀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝑑𝑆 （∗）
3.2.1 Green公式 而 0 dS=4πu* 品as-s=m偏 其中u,()'分别表示山，六在上的平均值 合图圆
3.2.1 Green公式 而 ඵ 𝛤𝜀 𝑢 𝜕 𝜕𝑟 1 𝑟𝑀0𝑀 ⅆ𝑆 = −ඵ 𝛤𝜀 𝑢 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟𝑀0𝑀 ⅆ𝑆 = −ඵ 𝛤𝜀 𝑢 1 𝑟𝑀𝑀0 2 ⅆ𝑆 = 1 𝜀 2 ඵ 𝛤𝜀 𝑢 1 𝑟𝑀𝑀0 2 ⅆ𝑆 = 4𝜋𝑢 ∗ −ඵ 𝛤𝜀 1 𝑟𝑀0𝑀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 = 1 𝜀 ඵ 𝛤𝜀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 = 4𝜋𝜀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ∗ 其中𝑢 ∗ ， 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ∗ 分别表示𝑢， 𝜕𝑢 𝜕𝑛在𝛤𝜀上的平均值