3.2.1 Green公式 代入(*)式有 -品(5=a- 让e→0，则u→u(M,e()→0， 兴在n内有界)， 即 -{】as=aw 合M剑
3.2.1 Green公式 代入（∗）式有 −ඵ 𝛤 𝑢 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟𝑀0𝑀 − 1 𝑟𝑀0𝑀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 = 4𝜋𝑢 ∗ − 4𝜋𝜀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ∗ 让𝜀 → 0，则𝑢 ∗ → 𝑢 𝑀0 ，𝜀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ∗ → 0，（𝜕𝑢 𝜕𝑛在𝛺内有界）， 即 −ඵ 𝛤 𝑢 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟𝑀0𝑀 − 1 𝑟𝑀0𝑀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 = 4𝜋𝑢 𝑀0
3.2.1 Green公式 C.当Mo∈T时 同b,做一个以M为心，以充分小e>0为半径的小球K。c2, 则在剩下的区域2\Ke内，用G2: 仆-品 1∂u ds TMoM on 此时 儿{=2儿s=2壶us=2w 合☒例
3.2.1 Green公式 C.当𝑀0 ∈ 𝛤时 同b，做一个以𝑀0为心，以充分小𝜀 > 0为半径的小球𝐾𝜀 ⊂ 𝛺， 则在剩下的区域𝛺 ∖ 𝐾𝜀内，用𝐺2： −ඵ 𝛤 𝑢 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟𝑀0𝑀 − 1 𝑟𝑀0𝑀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 = ඵ 𝛤 Τ𝜀 2 𝑢 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟𝑀0𝑀 − 1 𝑟𝑀0𝑀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 此时 ඵ 𝛤 Τ𝜀 2 𝑢 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟𝑀0𝑀 ⅆ𝑆 = 1 𝜀 2 ඵ 𝛤 Τ𝜀 2 𝑢 ⅆ𝑆 = 2𝜋 ⋅ 1 2𝜋𝜀 2 ඵ 𝛤 Τ𝜀 2 𝑢 ⅆ𝑆 = 2𝜋𝑢 ∗
3.2.1 Green公式 Bu 1 ds=2ne Te/2 Te/ 同b可取ε→0得 ) 1 du TMoM dS=2πu(Mo) 合M
3.2.1 Green公式 ඵ 𝛤 Τ𝜀 2 1 𝑟𝑀0𝑀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 = 1 𝜀 ඵ 𝛤 Τ𝜀 2 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 = 2𝜋𝜀 ⋅ 1 2𝜋𝜀 2 ඵ 𝛤 Τ𝜀 2 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 = 2𝜋𝜀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ∗ 同b可取𝜀 → 0得 −ඵ 𝛤 𝑢 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟𝑀0𝑀 − 1 𝑟𝑀0𝑀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 = 2𝜋𝑢 𝑀0
3.2 Green公式及应用 3.2.2调和函数的四个性质 (1)调和函数的积分表达式 设u是2内的调和函数，则对VMo∈2有 w=东{)as (2.6) (上式中揭示了用u及票在r上的值，即可求出内部任一点值u(M,).) 合图圆
3.2 Green公式及应用 3.2.2 调和函数的四个性质 （1）调和函数的积分表达式 设𝑢是𝛺内的调和函数，则对∀𝑀0 ∈ 𝛺有 𝑢 𝑀0 = − 1 4𝜋 ඵ 𝛤 𝑢 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟𝑀0𝑀 − 1 𝑟𝑀0𝑀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 （2.6） （上式中揭示了用𝑢及 𝜕𝑢 𝜕𝑛在𝛤上的值，即可求出内部任一点值𝑢 𝑀0 .）
3.2.2调和函数的四个性质 (2)调和函数的边值性质 设u是2内的调和函数，则 ds =0 证明 在G2中，令y三1即得. 二在物理中表示流速，上式说明物理量在边界上流入和流出相等，因此调和函 数描述的平衡状态是一种动态平衡) 合圆
3.2.2调和函数的四个性质 （2）调和函数的边值性质 设𝑢是𝛺内的调和函数，则 ඵ 𝛤 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑆 = 0 证明 在𝐺2中，令𝜈 ≡ 1即得. （ 𝜕𝑢 𝜕𝑛在物理中表示流速，上式说明物理量𝑢在边界上流入和流出相等，因此调和函 数描述的平衡状态是一种动态平衡）