3.1.3变分原理 代入(1.14)式知对∀ω∈Vo,有 ∬au+Dodxdy=0 (1.15) 在2中，一定有△u+f三0.若不然，假设△u+f在2中某一点(xo,yo)处不等于0， 不失一般性，设(4u+f)川xoyo)>0,则由4u+f的连续性知，必存在(xo,yo)的 一个领域，在领域中成立(4u+f)xo)>0。这样，取2在(xo,yo)点附近大于0， 而在其外等于0，则有 (u+odxdy>0 与(1.15)式矛盾。因此，在2中必有△u+f≡0，又u∈V,即ur=0,u为问 题(1.13)的解. 合圆
3.1.3变分原理 （1.15） 代入（1.14）式知对∀𝜔 ∈ 𝑉0，有 ඵ 𝛺 𝛥𝑢 + 𝑓 𝜔 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 = 0 在𝛺中，一定有𝛥𝑢 + 𝑓 ≡ 0. 若不然，假设𝛥𝑢 + 𝑓在𝛺中某一点 𝑥0 , 𝑦0 处不等于0， 不失一般性，设 𝛥𝑢 + 𝑓 ȁ 𝑥0,𝑦0 > 0，则由𝛥𝑢 + 𝑓的连续性知，必存在 𝑥0 , 𝑦0 的 一个领域，在领域中成立 𝛥𝑢 + 𝑓 ȁ 𝑥0,𝑦0 > 0。这样，取𝛺在 𝑥0 , 𝑦0 点附近大于0， 而在其外等于0，则有 ඵ 𝛺 𝛥𝑢 + 𝑓 𝜔𝑑𝑥𝑑𝑦 > 0 与（1.15）式矛盾。因此，在𝛺中必有𝛥𝑢 + 𝑓 ≡ 0，又𝑢 ∈ 𝑉0，即𝑢ȁ𝛤 = 0，𝑢为问 题（1.13）的解
3.1.3变分原理 若u∈Vo为定解问题(1.13)的解，则对V中任一给定的ω， 成立 ∬a+/wdxdy=0 则由Green公式和w∈V有 dudw,dudω xax+成列 -faJdxdy-0 (1.16) 合图圆
3.1.3变分原理 成立 （1.16） ⇐ 若𝑢 ∈ 𝑉0为定解问题（1.13）的解，则对𝑉0中任一给定的𝜔， −ඵ 𝛺 𝛥𝑢 + 𝑓 𝜔 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 = 0 则由Green公式和𝜔 ∈ 𝑉0有 ඵ 𝛺 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝜔 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝜔 𝜕𝑦 − 𝑓𝜔 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 = 0
3.1.3变分原理 v∈V,令w=v-u∈V有 J(v)=J(u+ω) -+ dudω， 0x0+ -o小a保+门 由u6=a+l)+]d 所以J(v)≥J(u) (等号在ω=0成立) 即证明了u是变分问题(1.12)的解. 合M剑
3.1.3变分原理 ∀𝜈 ∈ 𝑉0，令𝜔 = 𝜈 − 𝑢 ∈ 𝑉0 有 𝐽 𝜈 = 𝐽 𝑢 + 𝜔 = 𝐽 𝑢 +ඵ 𝛺 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝜔 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝜔 𝜕𝑦 − 𝑓𝜔 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 1 2 ඵ 𝛺 𝜕𝜔 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝜔 𝜕𝑦 2 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 由（1.16）𝐽 𝜈 = 𝐽 𝑢 + 1 2ඵ 𝛺 𝜕𝜔 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝜔 𝜕𝑦 2 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 所以𝐽 𝜈 ≥ 𝐽 𝑢 （等号在𝜔 = 0成立） 即证明了𝑢是变分问题（1.12）的解
名人名言 数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从 事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深.”一一一高斯 “在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的 部分，看看还有那些问题没有解决，需要我们去探索解 决.”-一华罗庚 “时间是个常数，但对勤奋者来说，是个‘变数’.用‘分’来计算时 间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍.”-一雷巴柯夫 合图圆
名人名言 数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从 事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深.”- 高斯 “在学习中要敢于做减法,就是减去前人已经解决的 部分,看看还有那些问题没有解决,需要我们去探索解 决.” -华罗庚 “时间是个常数,但对勤奋者来说,是个‘变数’.用‘分’来计算时 间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍.” -雷巴柯夫
3.2 Green公式及应用 3.2.1 Green公式 (1) Gauss公式 设2是以光滑曲面Γ为边界的有界区域， P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)EC(nr)nci(), ∬（假+器+）an=pam+Qesn+Reon.la 合圆
3.2 Green公式及应用 3.2.1 Green 公式 （1）Gauss 公式 设𝛺是以光滑曲面𝛤为边界的有界区域， 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ，𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 ，𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐶 𝛺 ∩ 𝛤 ∩ 𝐶 1 𝛺 ,则 ම 𝛺 𝜕𝑃 𝜕𝑥 + 𝜕𝑄 𝜕𝑦 + 𝜕𝑅 𝜕𝑧 ⅆ𝛺 = ඵ 𝛺 𝑃 cos 𝑛, 𝑥 + 𝑄 cos 𝑛, y + 𝑅 cos 𝑛, 𝑧 ⅆ𝑆