3.1.2定解条件和定解问题（边值问题） 如果不加条件imu=0,则会导致解的不唯一. 0 例：以原点为心的单位球面T上作边界的Dirichlet外问题. 易知山，G,y2)=1和，6c,y2)=42 都是解，但只有limu2=0 合图圆
如果不加条件𝑙𝑖𝑚 𝑟→0 𝑢 = 0，则会导致解的不唯一. 3.1.2定解条件和定解问题(边值问题) 例：以原点为心的单位球面𝛤上作边界的Dirichlet外问题. 易知𝑢1 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1和𝑢2 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 𝑥 2+𝑦2+𝑧 2都是解，但只有𝑙𝑖𝑚 𝑟→0 𝑢2 = 0
3.1.3变分原理 变分问题：对于积分表达式的极值问题， 物理：力学的变分问题会导出调和方程或泊松方程的定解问题. 例：薄膜的平衡问题 设有一边界固定的薄膜，在外力作用下处于平衡状态 力学中有如下最小总位能原理：在一切可能的位移中，存在一个位移使得总 位能达到最小. u(x,y):在(x,y)处的垂直位移，F(x,y):垂直外力的密度. 总位能： -+d 合圆
3.1.3变分原理 变分问题：对于积分表达式的极值问题. 物理：力学的变分问题会导出调和方程或泊松方程的定解问题. 例：薄膜的平衡问题. 设有一边界固定的薄膜，在外力作用下处于平衡状态. 力学中有如下最小总位能原理：在一切可能的位移中，存在一个位移使得总 位能达到最小. 𝑢 𝑥, 𝑦 ：在 𝑥, 𝑦 处的垂直位移,𝐹 𝑥,𝑦 ：垂直外力的密度. 总位能： 𝑉 = ඵ 𝛺 𝑇 2 𝜕𝑢 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 2 − 𝐹𝑢 𝑑𝑥𝑑𝑦
3.1.3变分原理 以(u)表示总位能， 不计常数因子，写为： -假+v- “一切可能的位移”取为如下的集合V,中的元素全体 Vo =vEC2(2)nCi(2).vlr =0 (1.11) 那么最下总位能原理可用如下数学形式表示：设u为真实位移，则u∈Vo,且 满足 J(u)=min/(v) (1.12) vEVO 变分问题和泊松方程的边值问题有密切联系 -△u=f (1.13) u=0 合☒
3.1.3变分原理 (1.11) (1.12) （1.13） 以𝐽 𝑢 表示总位能，不计常数因子，写为： 𝐽 𝑢 =ඵ 𝛺 1 2 𝜕𝑢 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 2 − 𝑓𝑢 𝑑𝑥 ⅆ𝑦 (𝑓 = 𝐹 𝑇 ) “一切可能的位移”取为如下的集合𝑉0中的元素全体 𝑉0 = 𝜈 ∈ 𝐶 2 𝛺 ∩ 𝐶 1 𝛺ത . 𝜈ȁ𝛤 = 0 那么最下总位能原理可用如下数学形式表示：设𝑢为真实位移，则𝑢 ∈ 𝑉0，且 满足 𝐽 𝑢 = min 𝑣∈𝑉0 𝐽 𝜈 变分问题和泊松方程的边值问题有密切联系 ቐ −𝛥𝑢 = 𝑓 𝑢ቚ 𝛤 = 0
3.1.3变分原理 定理1.1（变分原理)如果满足(1.12)的函数u∈Vo存在，它必满足(1.13)·反 之，若u是定解问题(1.13)属于V,的解，则u必为变分问题(1.12)的解. 证明→若u是变分问题(1.12)的解，任取ω∈V。,令v=u+w（1∈R), 显然有v∈Vo,且 J(v)=J(u+1ω) -温ej得e+如川ar -+∬（ 器等器oasa+小+门a 合C
3.1.3变分原理 定理1.1（变分原理）如果满足（1.12）的函数𝑢 ∈ 𝑉0存在，它必满足（1.13）.反 之，若𝑢是定解问题（1.13）属于𝑉0的解，则𝑢必为变分问题（1.12）的解. 证明 ⇒ 若𝑢是变分问题（1.12）的解，任取𝜔 ∈ 𝑉0，令𝜈 = 𝑢 + 𝜆𝜔 (𝜆 ∈ 𝑅)， 显然有𝜈 ∈ 𝑉0，且 𝐽 𝜈 = 𝐽 𝑢 + 𝜆𝜔 = ඵ 𝛺 1 2 𝜕 𝜕𝑥 (𝑢 + 𝜆𝜔 2 + ቇ 𝜕 𝜕𝑦 (𝑢 + 𝜆𝜔 2 − 𝑓 𝑢 + 𝜆𝜔 𝑑𝑥 ⅆ𝑦 = 𝐽 𝑢 +𝜆ඵ 𝛺 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝜔 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝜔 𝜕𝑦 − 𝑓𝜔 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 + 𝜆 2 2 ඵ 𝛺 𝜕𝜔 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝜔 𝜕𝑦 2 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦
3.1.3变分原理 由J(u)=mi(v)(1.12),则J(u+1w)在=0取最小值，即有 品a+ol。=0 即 器+ay=0 dudw (1.14) 由Green公式 au∂w. ouow 0x0+ dy dy dody audx -owddy (由于w∈V故wlr=0) 合图圆
3.1.3变分原理 即 （1.14） 由Green公式 由𝐽 𝑢 = min 𝑣∈𝑉0 𝐽 𝜈 1.12 ,则𝐽 𝑢 + 𝜆𝜔 在𝜆 = 0取最小值，即有 𝑑 𝑑𝜆 𝐽 𝑢 + 𝜆𝜔 ቚ 𝜆=0 = 0 ඵ 𝛺 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝜔 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝜔 𝜕𝑦 − 𝑓𝜔 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 ඵ 𝛺 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝜔 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝜔 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = න 𝛤 𝜔 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑠 − ඵ 𝛺 𝜔𝛥𝑢 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 = −ඵ 𝛺 𝜔𝛥𝑢 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 (由于𝜔 ∈ 𝑉0故𝜔ȁ𝛤 = 0）