3.1.1方程的导出 显然F(x,y,z)=grado,(除相差一个常数外，位势函数是唯一的)。 若有密度为p(x,y,z),分布在区域2上的质量。那么它产生的引力场应为其上 各质点产生的引力场的叠加 6xx)=∬pgn dξdndg 0x-)2+(x-n)2+(x-2 易验证p(x,y,z)在2外满足调和方程△p=0
3.1.1方程的导出 显然𝐹 Ԧ 𝑥, 𝑦, 𝑧 =grad𝜑，(除相差一个常数外，位势函数是唯一的)。 若有密度为𝜌 𝑥,𝑦, 𝑧 ,分布在区域𝛺上的质量。那么它产生的引力场应为其上 各质点产生的引力场的叠加 𝜓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ම 𝛺 𝜌 𝜉, 𝜂, 𝜁 𝑑𝜉𝑑𝜂𝑑𝜁 𝑥 − 𝜉 2 + 𝑥 − 𝜂 2 + 𝑥 − 𝜁 2 易验证𝜑 𝑥,𝑦, 𝑧 在𝛺外满足调和方程𝛥𝜑 = 0
3.1.1方程的导出 进一步若p(x,y,z)满足Holder条件： If(M)-f(M2)I<CM Mr (0<r<1,c>0) 则o在n内满足泊松方程4p=-4n0子a-+-4e- 1 是除(xo,o,2o)外处处二阶可微的调和函数，即除Ro.z0)外4=0 (2)静电场的电位势 △p=-4πp (p为电荷密度) 合图圆
3.1.1方程的导出 （2）静电场的电位势 进一步若𝜌 𝑥,𝑦, 𝑧 满足Holder条件： 𝑓 𝑀1 − 𝑓 𝑀2 ≤ 𝑐𝑀 ൯ 1𝑀2 𝑟 (0 < 𝑟 < 1，𝑐 > 0 则𝜑在𝛺内满足泊松方程𝛥𝜑 = −4𝜋𝜌. 1 𝑟 = 1 𝑥−𝑥0 2+ 𝑦−𝑦0 2+ 𝑧−𝑧0 2 是除 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 外处处二阶可微的调和函数，即除𝑅 ൗ 3 𝑥0,𝑦0,𝑧0 外𝛥 1 𝑟 = 0 𝛥𝜑 = −4𝜋𝜌 (𝜌为电荷密度)
3.1.2定解条件和定解问题（边值问题） 边界条件： 第一边界条件(Dirichlet条件) 第二边界条件(Neumann条件) on 二g 合M剑
3.1.2定解条件和定解问题(边值问题) 边界条件： ቤ 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝛤 = 𝑔 第一边界条件（Dirichlet条件） 第二边界条件（Neumann条件） 𝑢ቚ 𝛤 = 𝑔
3.1.2定解条件和定解问题（边值问题） 四类边值问题：区域2，边界T 第一边值问题(Dirichlet条件问题)： △u=0 在2内， ,=0 第二边值问题(Neumann问题)： △u=0 在2内， anr =0 合图圆
3.1.2定解条件和定解问题(边值问题) 第一边值问题(Dirichlet条件问题)： 第二边值问题（Neumann问题）： 四类边值问题：区域𝛺，边界𝛤 ቐ 𝛥𝑢 = 0 在𝛺内， 𝑢ቚ 𝛤 = 0 ൞ 𝛥𝑢 = 0 在𝛺内， ቤ 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝛤 = 0
3.1.2定解条件和定解问题（边值问题） Dirichlet外问题： u=0 在2内， limu(x,y,z)=0 Neumann外问题 △u=0在2内， limu(x,y,z)=0 -→00 ou =g 如果不加条件limu=0,则会导致解的不唯一. r0 合M剑
3.1.2定解条件和定解问题(边值问题) Dirichlet外问题： Neumann外问题 𝛥𝑢 = 0 在𝛺内， 𝑙𝑖𝑚 𝑟→∞ 𝑢 𝑥,𝑦, 𝑧 = 0 𝑢ቚ 𝛤 = 𝑔 𝛥𝑢 = 0 在𝛺内， 𝑙𝑖𝑚 𝑟→∞ 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 ቤ 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝛤 = 𝑔 如果不加条件𝑙𝑖𝑚 𝑟→0 𝑢 = 0，则会导致解的不唯一