例4设a,b为两个已知的n维向量,集合 {x=M+pb,p∈R 试判断集合是否为向量空间 解V是一个向量空间因为若x1=41a+14 b x2=A2a+p2b,则有 工工工 1+x2=(1+2)a+(1+2)b∈V, kx1=(kA1)a+(k1)b∈V 这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空 间 上页
例 4 设a,b为两个已知的n维向量，集合 V = x = a + b, R 试判断集合是否为向量空间. 解 V是一个向量空间.因为若x1 = 1a + 1b x2 = 2a + 2b， 则有 ( ) ( ) , x1 + x2 = 1 + 2 a + 1 + 2 b V ( ) ( ) . kx1 = k1 a + k1 bV . , 间 这个向量空间称为由向量a b所生成的向量空
般地,由向量组a1,a2,…,an所生成的向量空 间为 王v==.+.++11,…,知∈8 例设向量组a1,…,mn与向量组b,,b等价, 记 工工工 v={x=λ1a1+12a2+…+nOmA21 9295 .∈R v2={x=p1b1+u2b2+…+p1b,p1,p2,…p∈R} 试证:V1=V 上页
V x a a a R = = 1 1 + 2 2 ++ m m 1 ,2 , , m 间 一般地， 由向量组a1 ,a2 ,,am所生成的向量空 为 . , , , , , , , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 V V V x b b b R V x a a a R a a b b s s s m m m m s = = = + + + = = + + + 试证： 记 设向量组 与向量组 等价， 例 5