92 Hermite矩阵特征值问题 设A为n阶矩阵,其共轭转置矩阵记为AH如 果A=AH,那么,A称为 Hermite矩阵
9.2 Hermite矩阵特征值问题 设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为AH. 如 果A=AH，那么，A称为Hermite矩阵
92.1 Hermite矩阵的有关性质 设A1,2,…,元是Hem矩阵A的n个特征 值有以下性质 入,气2,…,,全是实数 入,2,…,有相应的n个线性无关的特征 向量,它们可以化为一组标准酉交的特征 向量组1,l ·· 9 L.,即t 1n是酉空间中的一组标准酉交基
9.2.1 Hermite矩阵的有关性质 设 是Hermite矩阵A的n个特征 值.有以下性质: • 全是实数. 1 2 , ,..., n 1 2 , ,..., n • 有相应的n个线性无关的特征 向量，它们可以化为一组标准酉交的特征 向量组 ,即 1 2 , ,..., n 1 2 , ,..., n u u u H i j u u ij = • 1 2 是酉空间中的一组标准酉交基. , ,..., n u u u
记U=(l1,Ll2…,12它是一个酉阵,即 UHU=UUHI,那么 UnAU= D 即A与以气,气,…,为对角元的对角阵相似 A为正定矩阵的充分必要条件是气122,…, 全为正数
• 记U=( ),它是一个酉阵，即 UHU=UUH=I，那么 即A与以 为对角元的对角阵相似. 1 2 , ,..., n u u u 1 H n U AU D = = 1 2 , ,..., n • A为正定矩阵的充分必要条件是 全为正数. 1 2 , ,..., n
定理9,2.1设λ,乜,…,是 Hermite矩阵A的n 个特征值,那么 州2 maX Isin 证:由42=D(424)=p(42)=(p(4) 因此‖42=max4 1<i<n 又由4=(24)=()=∑2 得A4=、∑
定理9.2.1 设 是Hermite矩阵A的n 个特征值，那么 证: 1 2 , ,..., n 2 1 max i i n A = 2 1 n F i i A = = 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ( )) H 由 A A A A A = = = 2 1 max i i n A 因此 = 2 2 2 1 ( ) ( ) n H F i i A tr A A tr A = 又由 = = = 2 1 n F i i A = 得 =
设x是一个非零向量,A是 Hermite矩阵, 称xAx为矩阵A关于向量x的 Rayleigh商, 记为R(x) 定理922如果A的n个特征值为4≥2≥…≥ 其相应的标准酉交的特征向量为1,212…,ln 那么有A≥R(x)≥n 定理923设A是 Hermite矩阵,那么 2=minR(x)或=minR(x) x∈C1且x≠0 XCCn=k+1且x≠=0
设x是一个非零向量，A是Hermite矩阵， 称 为矩阵A关于向量x的Rayleigh商， 记为R(x). H H x Ax x x 定理9.2.2 如果A的n个特征值为 其相应的标准酉交的特征向量为 那么有 1 2 ... n 1 2 , ,..., n u u u 1 ( ) R x n 定理9.2.3 设A是Hermite矩阵 ，那么 1 0 0 min ( ) min ( ) k n k k k x C x x C x R x R x − + = = 且 且 或