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91特征值与特征向量 设A是n阶矩阵,ⅹ是非零列向量.如果有 数λ存在,满足Ax=Ax(1) 那么,称ⅹ是矩阵A关于特征值λ的特征向
9.1 特征值与特征向量 设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有 数λ存在，满足 ， (1) 那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向 量
如果把(1)式右端写为Ix,那么(1)式又可写 为 (-A)x=0 即|AI-A|=0 f()=九-A2”+an1”+…+a1元+ao 它是关于参数入的n次多项式,称为矩阵A的特 征多项式,其中a0=(1)n|A
如果把(1)式右端写为 ，那么(1)式又可写 为: Ix ( ) 0 I A x − = 即| | 0 I A− = 1 1 1 0 ( ) | | ... n n n f I A a a a − = − = + + + + − 记 它是关于参数λ的n次多项式，称为矩阵A的特 征多项式， 其中a0=(-1)n｜A｜. (2)
显然,当λ是A的一个特征值时,它必然 是f()=0的根反之,如果λ是f(4)=的根 那么齐次方程组(2有非零解向量x,使(1)式 成立从而,λ是A的一个特征值 A的特征值也称为A的特征根
显然，当λ是A的一个特征值时，它必然 是 的根. 反之，如果λ是 的根， 那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式 成立. 从而，λ是A的一个特征值. A的特征值也称为A的特征根. f ( ) 0 = f ( ) 0 =
矩阵特征值和特征向量有如下主要性质 定理91.1n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必 要条件是A有零特征值 定理91.2设矩阵A与矩阵B相似,那么它们 有相同的特征值. 定理91.3n阶矩阵A与A有相同的特征值. 定理914设λλ是n阶矩阵A的两个互异特征 值,X、y分别是其相应的右特征向量和左特征 向量,那么,Xy=0
矩阵特征值和特征向量有如下主要性质： 定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必 要条件是A有零特征值. 定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值. 定理9.1.3 n阶矩阵A与AT有相同的特征值. 定理9.1.4 设λi≠λj是n阶矩阵A的两个互异特征 值，x、y分别是其相应的右特征向量和左特征 向量，那么，x Ty=0