两点边值问题有限元方法 0.25 函数和它的插值 02 0.15 l≤Ch 0.1 函数 dx 分 函数u 已知 0.05 有限元解◆→插值函数 0.1 0.2 0.3 04 0.5 0.6 0.7 0.9 当h->0时,插值函数收敛到函数u
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 x 0 两点边值问题有限元方法 函数和它的插值 当h->0时，插值函数收敛到函数u 2 2 2 dx d u u I u Ch h 有限元解 插值函数 函数u 已知 函数u满 足变分 问题
两点边值问题有限元方法 变分问题:在H0()空间中找一个函数a,使满足 a(,v)=f(v),vv∈H0( Ritz-Galerkin过程:在有限维子空间v1CH0(1 找一个函数n使满足离散变分问题 alun, vn)=f(vh), vh EVh VcH(D)←Vn={vn|v∈C(1 Courant有限元: k∈P(K,连续分片线性多 v(O)=v)=0}项式函数空间
两点边值问题有限元方法 ( , ) ( ), ( ) 1 0 a u v f v v H I 变分问题: 在 ( ) 空间中找一个函数u,使满足 1 0 H I h h h h Vh a(u , v ) f (v ), v Ritz-Galerkin过程：在有限维子空间 ( ) 1 0 V H I h 找一个函数uh ,使满足离散变分问题 ( ) 1 0 V H I h (0) (1) 0} | ( ), { | ( ), 1 v v v P K V v v C I h K h h h Courant有限元： 连续分片线性多 项式函数空间
两点边值问题有限元方法 连续分片线性多项式函数空间 x∈x h ,(x) x∈x」,x 0 otherwise 对于两端点的基函 数,作适当修正 X-x x∈|xn,X on+(x) n+1 otherwise 0.2 0.4 0.9
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 两点边值问题有限元方法 连续分片线性多项式函数空间 0 otherwise [ , ] , [ , ] ( ) 1 1 1 1 1 i i i i i i i i i x x x h x x x x x h x x x i1 x i x i1 x 对于两端点的基函 数，作适当修正 0, otherwise , [ , ] ( ) 1 1 1 n n n n n x x x h x x x
两点边值问题有限元方法 连续分片线性多项式函数空间 1.5 l91(x 3)=∑、(x) 0 般要求,求解空 间满足边界条件, x-x对第一类边界条件, i+1 0 0.2 0.4 0.7 0.8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 两点边值问题有限元方法 连续分片线性多项式函数空间 i i i i i h i h x x u h x x u x u 1 1 1 ( ) i1 x i x i1 x u ( x) i i ( ) 1 1 u x i i 1 0 ( ) ( ) n i h i i u x u x 一般要求，求解空 间满足边界条件， 对第一类边界条件， u0 = un+1=0
两点边值问题有限元方法 离散变分问题:在 Vh C span{9(x)}1中找一个函数hn (2vn)=f(vh),Vvn∈Vh 找一个向量{},4(x)=∑u9,(x) ∑a(q,9)1=f(q),j au= F A=((0p2n) 注意到矩阵A是三 对角的 F=fo dx
两点边值问题有限元方法 h h h h Vh a(u , v ) f (v ), v 离散变分问题：在 n h i i V span x 1 { ( )} 中找一个函数uh n i h i i u x u x 1 找一个向量{u ( ) ( ) i }, a u f j j n n i i j i ( , ) ( ), 1,2,..., 1 Au F ( , ) A a j i F f dx j 1 0 注意到矩阵A是三 对角的