《概率论与数理统计》课程教学资源：第四章习题课

第四章习题课 概率统计兰

《概率统计》 第四章习题课

问题1 数学期望定义中 为何要求绝对收敛? 我们通过一个期望不存在的例子 来说明这个问题 设X的分布律为n=PX=x)=l/2 其中x=(-12/kk=1, 则∑xp2=∑(-/k =1-1/2+1/3-1/4+…=ln2.(J)

2 问题1 数学期望定义中 为何要求绝对收敛？ 我们通过一个期望不存在的例子 来说明这个问题. 设 X 的分布律为 k k k p P(X x )1/2 其中 xk (1) k12 k /k k 1,2, 则   k1 k pk x       1 1 ( 1) / k k k 11/ 2 1/ 31/ 4  ln 2. ( J )

但由于∑xP=∑1/k=0 因此X的数学期望不存在.事实上由 微积分知识可知,如果把(J)式左边 级数中的项进行重排可能收敛于不同 的数,例如 1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+…=1.5ln2 1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+…=0.5ln2 随机变量的数学期望只能是一个 数,因此期望定义中要求的绝对收敛是

3 但由于    k1 k pk x      1 1/ k k 因此 X 的数学期望不存在.事实上由 微积分知识可知,如果把 ( J ) 式左边 级数中的项进行重排可能收敛于不同 的数，例如 11/31/ 21/51/ 71/ 41.5ln2. 11/ 21/ 41/31/ 61/8 0.5ln2. 随机变量的数学期望只能是一个 数,因此期望定义中要求的绝对收敛是

Q峪要的它可以保守的变化不影 问题2书中方差性质4如何证明? D(X)=0令P(X=C)=1 证先证必要性当D(X)=EX-E(X)2=0时, 记E(X=C.若结论不成立,则 P(X=C)<1或等价地P(X≠C)>0 于是 a MY=(x-ORY=O+ >/x-ORX=x)

4 必要的，它可以保证顺序的变化不影 响数学期望中级数的收敛性. 问题2 书中方差性质4如何证明？ D(X )  0  P(X  C) 1 证 先证必要性 当 ( ) [ ( )] 0 时, 2 D X  E X E X  记E(X) C . 若结论不成立, 则 P(X  C) 1 或等价地 P(X  C)  0 于是         x x C D X x C P X C x C P X x : 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Q右端第二项和式中至少有一项 P(X=a)>0 a≠C 从而对应的(a-C2>0,因此 DX=(a-CPX=a>0 与已知矛盾,所以P(X=C)=1 再证充分性当P(X=C)=1时, B(X=C1=C,B(2)=C1=C2, 则D()=B(X2)-[E()3=C2-C2=0

5 右端第二项和式中至少有一项 P(X  a)  0, a  C 从而对应的(aC) 2 0,因此 ( ) ( ) ( ) 0 2 D X  aC P X a  与已知矛盾,所以 P(X  C) 1. 再证充分性 ( ) ( ) [ ( )] 0. 2 2 2 2 D X E X  E X C C  当 P(X  C) 1 时, E(X)C1C, 2 2 2 E(X )C 1C , 则