(7)可化为全微分方程 形如P(x,y)dc+Q(x,y)小y=0 aP 00 非全微分方程(≠ ay ax 若p(x,y)≠0连续可微函数,且可使方程 p(x,y)P(x,y)dx+山(x,y)Q(x,y)d=0成为全 微分方程则称H(x,y)为方程的积分因子
(7) 可化为全微分方程 ( ). x Q y P 非全微分方程 形如 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 若( x, y) 0连续可微函数，且可使方程 (x, y)P(x, y)dx + (x, y)Q(x, y)dy = 0成为全 微分方程.则称(x, y)为方程的积分因子
常见的全微分表达式 2 x-+ xdy-ydu dx+ vdl 2 xdy-ydx J xdy+ yd arcto In xy) 2 x+ xx+yd小 In(x+y 2 x t y 2 xdy-yd x十 2 n 2 x-y 111 可选用积分因子 2 252 等 x+y xx y x ty
常见的全微分表达式 + + = 2 2 2 x y xdx ydy d = − x y d x xdy ydx 2 = + − x y d arctg x y xdy ydx 2 2 d( xy) xy xdy ydx = ln + = + + + ln( ) 2 1 2 2 2 2 d x y x y xdx ydy − + = − − x y x y d x y xdy ydx ln 2 1 2 2 可选用积分因子 , , . 1 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 等 x y y x x + y x x y x + y
3、可降阶的高阶微分方程的解法 (1)y1n=f(x)型 解法接连积分n次,得通解. (2)y"=f(x,y)型 特点不显含未知函数y 解法 令y=P(x),y"=P, 代入原方程,得P′=f(x,P(x)
3、可降阶的高阶微分方程的解法 解法 令 y P x = ( ), 特点 不显含未知函数 y. (2) y = f (x, y) (1) ( ) 型 ( ) y f x n = 接连积分n次，得通解． 型 解法 代入原方程, 得 P = f (x,P(x)). y P =
(3)y"=f(y,y)型 特点不显含自变量x 解法令y=P(x,y"=P2, 小y 代入原方程,得P"=f(y,P 小y 4、线性微分方程解的结构 (1)二阶齐次方程解的结构 形如y"+P(x)y+Q(x)y=0(1)
令 y P x = ( ), 特点 不显含自变量x. (3) y = f ( y, y) 型 解法 代入原方程, 得 f ( y,P). dy dp P = , dp y P dy = ４、线性微分方程解的结构 （1） 二阶齐次方程解的结构: 形如 y P x y Q x y + + = ( ) ( ) 0 (1)
定理1如果函数y1(x)与y2(x)是方程1)的两个 解,那末y=C11+C2y2也是(1)的解.(C,C2是常 数) 定理2如果y;(x)与y2(x)是方程1)的两个线性无 关的特解,那么y=C11+C2y2就是方程(1)的通 解 (2)二阶非齐次线性方程的解的结构: 形如y"+P(x)y+Q(x)y=f(x)(2)
定理 1 如果函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个 解,那末 1 1 2 2 y = C y + C y 也是(1)的解.（ 1 2 C , C 是常 数） 定理 2 如果 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个线性无 关的特解, 那么 1 1 2 2 y = C y + C y 就是方程(1)的通 解. （2）二阶非齐次线性方程的解的结构: 形如 y P x y Q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) (2)