2、一阶微分方程的解法 (1)可分离变量的微分方程 形如g(y)y=∫(x)d 分离变量法 解法∫8()=「f(x)c (2)齐次方程形加d=f( 解法作变量代换Ⅱ=y
形如 g( y)dy = f (x)dx (1) 可分离变量的微分方程 解法 g y dy f x dx ( ) ( ) = 分离变量法 2、一阶微分方程的解法 ( ) x y f dx dy (2) 齐次方程 形如 = 解法 y u x 作变量代换 =
(3)可化为齐次的方程 形如 ar+ by C d x ax+b,y+ 当c=c1=0时,齐次方程.否则为非齐次方程 解法令x=X+h, y=Y+k,化为齐次方程 (其中h和k是待定的常数)
( ) 1 1 1 a x b y c ax by c f dx dy + + + + 形如 = 当c = c1 = 0时, 齐次方程． x X h, y Y k = + = + 令 ， （其中h和k是待定的常数） 否则为非齐次方程． (3) 可化为齐次的方程 解法 化为齐次方程．
(4)一阶线性微分方程 形如 +P(x)y=e(x) 当Q(x)≡0,上方程称为齐次的 当Q(x)年0,上方程称为非齐次的 解法齐次方程的通解为丿=C∫rxlh (使用分离变量法)
P(x) y Q(x) dx dy 形如 + = (4) 一阶线性微分方程 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的． 当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的. 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce （使用分离变量法） 解法
非齐次微分方程的通解为 「P(x)t P(x)dx y=l 2(x)e dx+C] (常数变易法) (5)伯努利( Berno方程 形如 +P(x)y=Q(x)y(n≠0,1) 当n=0,时,方程为线性微分方程 当n≠0,时,方程为非线性微分方程
非齐次微分方程的通解为 + = − P x dx P x dx y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] （常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程 n P x y Q x y dx dy 形如 + ( ) = ( ) (n 0,1) 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程
解法需经过变量代换化为线性微分方程 令z (1-n)P(x) e (Q(x)(1-n)e dx +c) (6)全微分方程 形如P(x,y)dx+Q(x,y)y=0 其中du(x,y)=P(x,y)dhx+Q(x,y)如y
解法 需经过变量代换化为线性微分方程． 1 , n z y − 令 = ( ( )(1 ) ). (1 ) ( ) (1 ) ( ) 1 + − = = − − − − e Q x n e dx c y z n P x d x n P x d x n P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 其中 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 形如 (6) 全微分方程