定理3设y是(2)的一个特解,Y是与(2)对应 的齐次方程(1)的通解,那么y=Y+y是二阶非 齐次线性微分方程(2)的通解 定理4设非齐次方程(2)的右端f(x)是几个函 数之和,如y”+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x) 而y与y2分别是方程 y+P(x)y+e(x)y=f(x) y+P(x)y+e(x)y=f,(r) 的特解,那么y+y2就是原方程的特解
定理 3 设 * y 是(2)的一个特解, Y 是 与(2)对 应 的齐次方程(1)的通解, 那么 * y = Y + y 是二阶非 齐次线性微分方程(2)的通解. 定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如 ( ) ( ) ( ) ( ) y + P x y + Q x y = f1 x + f 2 x 而 * 1 y 与 * 2 y 分别是方程, ( ) ( ) ( ) y + P x y + Q x y = f1 x ( ) ( ) ( ) 2 y + P x y + Q x y = f x 的特解, 那么 * 2 * 1 y + y 就是原方程的特解
5、二阶常系数齐次线性方程解法 形如y+P1ym)+…+Pn-1y+Py=f(x) n阶常系数线性微分方程 y"+my3+gy=0二阶常系数齐次线性方程 y"+py2+y=f(x)二阶常系数非齐次线性方程 解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法
5、二阶常系数齐次线性方程解法 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y P y P y f x n n n n + + + − + = 形如 − n阶常系数线性微分方程 y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法
y+py+ay=0 特征方程为r2+pr+q=0 特征根的情况 通解的表达式 实根r1≠F2 V=Ceir +cae 2 实根r1= V=(C1+C2r eir 复根n2=a土iy=c“(cs+C2si)
0 2 r + pr + q = y + py + qy = 0 特征根的情况 通解的表达式 实根 1 2 r r 实根 1 2 r = r 复根r1,2 = i r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 r x y C C x e 2 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + 特征方程为