2、牛顿基本差商公式的建立 设x为插值区间内的一个节点,则有 flo,x f(x)-f(ro) x-x fxo,xI-fIx,xol 19~09 X-x fIx2,x1,xo, xI fx 1909 x]-flx2, x,xo f∫xn,,x,x0,x ∫xn-1;…,x0,x]-fxn,…,x,x
2、牛顿基本差商公式的建立 设x为插值区间内的一个节点，则有 1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 [ , , ] [ , [ , ] [ ( ) , [ , ] , [ , , ] , [ , , [ , , , , ] , ] [ , , , ] [ , , , , ] ] ( ) , ] n n n f x x x f x x x x f x x x f x x f x x x f x x x f x x x f x x x x f x x x f x x x f x x f x x x x x x − − = − − = − − = − − = −
解出f(x),得 f(x)=f(x0) n阶多项式P(x) +(x-xo )1x1,x 牛顿基本差商公式 +(x-x0)(x-x1)f1x2,x1,x +(x-x0)(x-x1)(x-x2)[x3,x2,x,x +(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)fxn,…,x,xl +(x-x0)(x-x1)…(x-xn)∫[xn,…,x,x0,x 余式R(x)
n阶多项式 ——牛顿基本差商公式 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 3 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ] ( )( )( ) [ , , , ] ( )( ) ( ) [ , , , ] ( )( ) ( ) [ , , , , ( ) ] n n n n f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f f x x x x x − = + − + − − + − − − + + − − − + − − − 解出f(x)，得 ( ) P x n ( ) ——余式 R x n
P(x)=f(o+(x-xo)fIx, xo+(xr-xox-x fl2,*,roI +…+(x=x0)(x-x)(x-xn)/ n10 x:fxiI flx, xi+1 f([x, x;mt, i+2 1 fIx, x;s, xi4rs x; I ye 09~1 x/(x)5人Qx,x,xT x, f(x,) ∫x,x2,x3
i x 0 x 1 x 2 x 3 x [ ]i f x0 f x( )1 f x( ) 2 f x( ) 3 f x( ) 1 [ , ] i i f x x + 0 1 f x x [ , ] 1 2 f x x [ , ] 2 3 f x x [ , ] 1 2 [ , , ] i i i f x x x + + 0 1 2 f x x x [ , , ] 1 2 3 f x x x [ , , ] 1 2 3 [ , , , ] i i i i f x x x x + + + 0 1 2 3 f x x x x [ , , , ] 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ] ( )( ) ( ) [ , , , ] n n n P x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x − = + − + − − + + − − −
例52已知x=1,4,9的平方根为1,23,利用牛顿基本差商 公式求7的近似值。 解: ∫x;,X+l fx,x+1,x1+2 0.33333 4 0.2-0.33333 三-0.01660 3-2 9-1 939-4 从而得二阶牛顿基本差商公式为 P(x)=1+0.33301)-0.01667(x-1)(x-4) 因此计算得7的近似值为P(7)=26999
例5.2 已知x=1,4,9的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商 公式求 的近似值。 i x 1 4 9 i x 1 2 3 1 [ , ] i i f x x + 2 1 0 33333 4 1 . − = − 3 2 0 2 9 4 . − = − 1 2 [ , , ] i i i f x x x + + 0 2 0 33333 0 01667 9 1 . . . − = − − 7 解： 从而得二阶牛顿基本差商公式为 2 P x x x x ( ) . ( ) . ( )( ) = + − − − − 1 0 33333 1 0 01667 1 4 2 因此计算得 7 的近似值为 P ( ) . . 7 2 69992 =
3、牛顿基本差商公式的余式估计 (1)差商和导数的关系 f(x)=P(x)+R,(x) =∫(x0)+(x-x)fx0,x]+ +(x-x0)x-x)…(x-xn=1)f[x,x1,…,xnl +(x-x0(x-x1)…(x-xn)f(x0,x1,…,xn,x 设J表示由节点x0灬…,xκn中的最小最大值界定的插值区间, Rn(x)=(x-xo)(x-x (x-xmnfxo,x s xx 在区间J上至少有n+个零点,由罗尔定理归纳可知 R0(x)在区间J上至少有个零点(设为),而
3、牛顿基本差商公式的余式估计 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ , , , , ] ( ) [ , ] ( )( ) ( ) [ , , , ] n n n n n n P x f x x x f x x x x x x x R x x x x x x x f x x f x x x x x x f x − + − + + − − = + = + − − − − 设J表示由节点x0 ,...,xn中的最小最大值界定的插值区间， 0 1 0 1 ( ) ( )( ) ( ) [ , , , , ] R x x x x x x x f x x x x n n n = − − − 在区间J上至少有n+1个零点，由罗尔定理归纳可知， ( )( ) n R x n 在区间J上至少有1个零点（设为ξ），而 （1）差商和导数的关系