第七章常微分方程的数值解法 §1引言 只含有一个未知数的微分或导数的方程称为常微分方程 (Ordinary Differential Equation), HEtu f(x,y,y)=0 一个常微分方程如果有解,则有无数个解,称为通解 ( General solution);其中的某一个确定的解称为特解 (Particular Solution 考虑初值问题 l(o)=y
第七章 常微分方程的数值解法 §1 引言 只含有一个未知数的微分或导数的方程称为常微分方程 （Ordinary Differential Equation），形如 f x y y ( , , ) 0. = 一个常微分方程如果有解，则有无数个解，称为通解 （General Solution）；其中的某一个确定的解称为特解 （Particular Solution）. 考虑初值问题 0 0 ( , ) ( ) y f x y y x y = =
定理7.1(初值问题解的存在唯一性) 设f(x,y)在D={≤xsb,<y<+上有定义且连续,同 时满足李普希兹条件 ∫(x,y)-f(x,y)≤Ly-y,(x,y,(x,y)∈D 其中L为李普希兹常数,则初值问题(71)的解存在且唯一, 并且解y(x)连续可微。 定理72如果(xy)满足李普希兹条件,则初值问题是稳定的。 仅有少数常微分方程可求解析解,大部分只能求数值解, 即求出在区间[ab上若干离散点a=x<x<x2<…<xn=b 处函数值的近似值n1y2;…yn 本章介绍求解常微分方程(组)的常用数值方法
定理7.1（初值问题解的存在唯一性） 设f(x,y)在 上有定义且连续，同 时满足李普希兹条件 其中L为李普希兹常数，则初值问题（7.1）的解存在且唯一， 并且解y(x)连续可微。 D a x b y = − + { , } * * * f x y f x y L y y x y x y D ( , ) ( , ) , ( , ), ( , ) − − 定理7.2 如果f(x,y)满足李普希兹条件，则初值问题是稳定的。 本章介绍求解常微分方程（组）的常用数值方法。 仅有少数常微分方程可求解析解，大部分只能求数值解， 即求出在区间[a,b]上若干离散点 处函数值的近似值 0 1 2 n a x x x x b = = 1 2 , , , . n y y y
§2泰勒级数法( Taylor Series Method) 素勒展开式 y(x+b)=y(x)+y(x)+y(x)+…+yP(x)+O(h) 2! 2! 对于初值问题 ∫y=f(x,y) (x0)=y 考虑其解y=y(x)在初值点x处的p阶泰勒多项式 y)+y(x)+1x)+…+ 2!
§2 泰勒级数法(Taylor Series Method) 泰勒展开式 对于初值问题 0 0 ( , ) ( ) y f x y y x y = = 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! 2! p h h h p p y x h y x y x y x y x O h + + = + + + + + 考虑其解y=y(x)在初值点x0处的p阶泰勒多项式 2 ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! 2! p h h h p y x h y x y x y x y x + + + + + 1 y x( )y1 =
y=y(x)+y(x)+my”(x)+…+,yP(x) 2! 2! 其中 y(ro)=yo y(x=f(x,y) y(ro)=f(ro,yo)=fo →y(x)=(+ff 将上述各阶导数值代入*式,即得y1的值; 再以(x11为起点,建立X1点的Tayo多项式,计算出y2如此 继续,依次通过 htS c乡×4 可求出数值解y,y2,…,yn
2 ( ) 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! 2! p h h h p y y x y x y x y x = + + + + 其中 0 0 y x y ( ) = y x f x y ( ) ( , ) = 0 0 ( ) ( ) x y y x f f f = + 0 0 0 0 y x f x y f ( ) ( , ) = ( ) f f y x y x y = + 将上述各阶导数值代入*式，即得y1的值； 再以(x1 ,y1 )为起点，建立x1点的Taylor多项式，计算出y2 ,如此 继续，依次通过 可求出数值解 1 2 , , , . n y y y 2 ( ) 1 1! 2! 2! p p n n n n n h h h y y y y y + = + + + +
例1取步长h=01,用二阶泰勒多项式求解初值问题 (0≤x≤) (0)=1 解: h ∴ 2! 2! 由于y=y,故有y=(y)=2yy=2 于是,相应的二阶泰勒多项式的迭代式为 hh +-y2+-2 n+1 212y=y,+012+0.001y7 由初值x。=0y0=1开始迭代,计算结果为
例1 取步长h=0.1,用二阶泰勒多项式求解初值问题 解： 由于 2 1 (0 ) (0) 1 2 y y x y = = 2 ( ) 1 1! 2! 2! p p n n n n n h h h y y y y y + = + + + + 2 y y = , 3 故有 y y y y y = = = ( ) 2 2 , 于是，相应的二阶泰勒多项式的迭代式为 2 2 3 1 2 1! 2! n n n n h h y y y y + = + + 2 3 0.1 0.001 n n n = + + y y y 由初值x0=0,y0=1开始迭代，计算结果为