第三章解线性方程组的直接法 a,,+ax2+,,.+ann=b 1x1+a2x2+…+a2nxn=b a1xX1+a.,x+…+ax nI nn n 简记作AX=B(A|≠0 2 其中A= LX B=
第三章 解线性方程组的直接法 其中 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 , , . n n n n nn n n a a a x b a a a x b A X B a a a x b = = = 简记作 AX B A = (| | 0)
■低阶稠密线性方程组 大型稀疏方程组 ■线性方程组AX=B的一般数值解法: 1.直接法:通过有限步精确运算求得方程组的精确解 (存在舍入误差)。适用于低阶稠密方程组 消元法 主元素法 2.迭代法:通过构造迭代方程组进行迭代。 简单迭代法 适用于大型稀疏方程组 赛德尔迭代法
◼ 低阶稠密线性方程组 ◼ 大型稀疏方程组 ◼ 线性方程组AX=B的一般数值解法： 1. 直接法：通过有限步精确运算求得方程组的精确解 （存在舍入误差）。 • 消元法 • 主元素法 2. 迭代法：通过构造迭代方程组进行迭代。 • 简单迭代法 • 赛德尔迭代法 适用于低阶稠密方程组 适用于大型稀疏方程组
§1消元法 2x1+x2+x3=7(1) 例解方程组{4x1+5x2-x3=11(2) 解①消元:消去(2)(3)式中含x1的项 (2)-2*():(4-2×2)x1+(5-2×1)x2+(-1-2×1)x3=11-2×7 2*(3)-():(2×1-2)x1+(2X(-1)-1)x2+(2×1-1)x3=0×2-7 3x2-3x3=-3(4) 3x2+x3=-7(5)
§1 消元法 例 解方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 7 (1) 4 5 11 (2) 0 (3) x x x x x x x x x + + = + − = − + = 解 ① 消元：消去(2)(3)式中含x1的项 1 2 3 1 2 3 (2) 2*(1) : (4 2 2) (5 2 1) ( 1 2 1) 11 2 7 2*(3) (1) : (2 1 2) (2 ( 1) 1) (2 1 1) 0 2 7 x x x x x x − − + − + − − = − − − + − − + − = − 2 3 2 3 3 3 3 (4) 3 7 (5) x x x x − = − − + = − 即
消去(5)式中含x2的项,得-2x3=-10(6) 2x1+x2+x3=7(1) 得同解方程组3x2-3x2=-3(4) 2x2=-10(6 x3 ②回代: x3=(-10)/(-2)=5 =(3+3x3)/3=(-3+3×5)3=4 (7-x2-x)/2=(7-4-5)/2=
② 回代： ( ) ( ) 3 x = − − = 10 2 5 x x 2 3 = − + = − + = ( 3 3 3 3 3 5 3 4 ) ( ) x x x 1 2 3 = − − = − − = − (7 2 7 4 5 2 1 ) ( ) 得同解方程组 1 2 3 2 3 3 2 7 (1) 3 3 3 (4) 2 10 (6) x x x x x x + + = − = − − = − 消去(5)式中含x2的项，得 3 − = − 2 10 (6) x
1、消元法的一般描述(以n=3为例) a1x1+a12x2+a13x3=b ax, fanta. a3rx, +a32x2+a33x3=b3 x1+12x2+l12x2=21 12 13 ①消元 L2xX2+22x2=2 得到三角形 线性方程组 ②回代{x2=(2-l2x)2 解出未知量 x1=(=1-L2x2-3x3)1
1、消元法的一般描述（以n=3为例） ① 消元 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + = + + = + + = ② 回代 11 1 12 2 13 3 1 22 2 23 3 2 33 3 3 u x u x u x z u x u x z u x z + + = + = = 3 3 33 2 2 23 3 22 1 1 12 2 13 3 11 ( ) ( ) x z u x z u x u x z u x u x u = = − = − − 得到三角形 线性方程组 解出未知量