高等教育出版社：《概率论与数理统计》课程教材教学资源（PPT课件讲稿）第五章 大数定律与中心极限定理

生第五章大数定理与中心极限定理 “概率是频率的稳定值”。前面已经提到,当 随机试验的次数无限增大时,频率总在其概 率附近摆动,逼近某一定值。大数定理就是 从理论上说明这一结果。正态分布是概率论 中的一个重要分布,它有着非常广泛的应用 中心极限定理阐明,原本不是正态分布的一 般随机变量总和的分布,在一定条件下可以 渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计 中的基本理论,在概率统计中具有重要地位。 上或

第五章 大数定理与中心极限定理 • “概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当 随机试验的次数无限增大时，频率总在其概 率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是 从理论上说明这一结果。正态分布是概率论 中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。 中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一 般随机变量总和的分布，在一定条件下可以 渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计 中的基本理论，在概率统计中具有重要地位

§1大数定理 庄§11契比雪夫( Chebyshev不等式 定理(契比雪夫( Chebyshev不等式):设随机变 量X具有数学期望E(X=,方差D(X=02,则对于任 上意正数有 PX∠2)≤ E e→P( X-山≤l21- 上或

§1 大数定理 ( ) 2 2 | |   P X −     • 定理（契比雪夫(Chebyshev)不等式）:设随机变 量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 ,则对于任 意正数ε,有 ( ) 2 2 1    P X −     − §1.1 契比雪夫(Chebyshev)不等式

证明(1)设X的概率密度为px,则有 PXx一BP}=∫叫s∫xp(x x-4≥E E x-4≥6 x-)p(x)x=-2 王2设离散型随机变量X的分布律为P(X=x}=P则有 PXe}=∑P(X=xk} xk-A2a ≤∑ PX=x}≤∑[x4-p O xk-|≥E 上或

 −  −  =     | | {| | } ( ) x P X p x dx −  −  = =     | | {| | } { } k x k P X P X x 证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有 (2)设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk ,则有  −  −      | | 2 2 ( ) | | x p x dx x 2 2 2 2 ( ) ( ) 1      − =  + − x p x dx −  = −      | | 2 2 { } [ ] k x k k P X x x 2 2 2 2 [ ] 1       − k = k xk p

王 王·例:在供暖的季节住房的平均温度为2度标 准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差 A的绝对值小于4度的概率的下界 解 2 PX-204}≤2=7 424 PX-20k4} =1-P{X-204} 13 1 44 上或

4 1 4 2 {| 20 | 4} 2 2 P X −   = • 例:在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标 准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差 的绝对值小于4度的概率的下界. 解 P{| X − 20 | 4} =1− P{| X − 20 | 4} 4 3 4 1 1− =

例:已知随机变量Ⅹ的数学期望为F(X,方 差D(X)=a2,当E=2a和E=3时,试用切比雪夫 不等式求概率P(X-川≥l的近似值 解当￡=2时 e(xA≥7)02 O 当E=3时 P(x-A≥3o) O 9 上或

例：已知随机变量 X 的数学期望为 E(X)=μ，方 差 2 D(X ) = ，当 = 2 和 = 3 时，试用切比雪夫 不等式求概率 P( X −   )的近似值. 解 当 = 2时 ( ) ( ) 4 1 2 2 2 2 −   =   P X   当 = 3时 ( ) ( ) 9 1 3 3 2 2 −   =   P X  