般地,称fx; i5i+1 +n flx 29i+n I-flr i5i+199in-1 +n 为f(x)在[x1,x+2,x】上的m阶差商
一般地，称 1 [ , , , ] i i i n f x x x + + 为 f x x x x ( ) [ , , ] 在 i i n i n + + 上的n阶差商。 1 2 1 1 [ , , , ] [ , , , ] i i i n i i i n i n i f x x x f x x x x x + + + + + − + − = −
列表计算差商 x/1x1/x,x几1x,x元,x1 i,i+1,i+2,i3 xo f(xo) x, f() |x0,x,x2 f(x 29 fIx,x2, x3 xa f(x)
列表计算差商 i x 0 x 1 x 2 x 3 x [ ]i f x0 f x( )1 f x( ) 2 f x( ) 3 f x( ) 1 [ , ] i i f x x + 0 1 f x x [ , ] 1 2 f x x [ , ] 2 3 f x x [ , ] 1 2 [ , , ] i i i f x x x + + 0 1 2 f x x x [ , , ] 1 2 3 f x x x [ , , ] 1 2 3 [ , , , ] i i i i f x x x x + + + 0 1 2 3 f x x x x [ , , , ]
例51列出f(x)=x3在节点x=0,2,356上的各阶差商值。 解:列表计算 x八xfx,x+1x,x1,x2三阶差商四阶差商 8-0 4 19-4 2-0 28 27-8 3-0 10-5 3-2 49-19 327 10 0 125-27 6-0 =49 5-2 14-10 5|125 5-3 216-125 =91 314/6- 91-49 62166
例5.1 列出f(x)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值。 i x 0 2 3 5 6 [ ]i f x0 8 27 125 216 1 [ , ] i i f x x + 8 0 4 2 0 − = − 27 8 19 3 2 − = − 125 27 49 5 3 − = − 216 125 91 6 5 − = − 1 2 [ , , ] i i i f x x x + + 19 4 5 3 0 − = − 49 19 10 5 2 − = − 91 49 14 6 3 − = − 10 5 1 5 0 − = − 14 10 1 6 2 − = − 1 1 0 6 0 − = − 三阶差商 四阶差商 解：列表计算
说明: ①差商是反映函数值的变化速度的量; ②差商具有对称性,即差商值同节点的排列次序无关。 fxo,x, ∫(x1)-∫(x)f(x0)-f(x) fIx,x fxo,x,,x2I ∫x1,x2]-∫ 09 f(ro) f(x1) f(x2) (x-x1)(x-x2)(x-x0)(x1-x2)(x2-x0(x2-x1) fIx2,xi,xol=fxo,x2,x,I
说明： ① 差商是反映函数值的变化速度的量； ② 差商具有对称性，即差商值同节点的排列次序无关。 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 ( ) ( [ , ] [ , ] f x f x f x f x ) ( ) ( ) x x x x f x x f x x − − = = = − − 1 2 0 1 2 0 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 1 2 2 0 0 2 1 [ , ] [ , ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( [ , , ] ) f x x f x x x x f x f x f x x x x x x x x f x x x x x x x x − = − = + + − − − − − − 2 1 0 0 2 1 = = f x x x f x x x [ , , ] [ , , ]
说明: ③差商可以分解为下述形式: 09~199 ∑ f(x;) a(x1-x1)…( )(x2-x+)…(x2-xk) ∑k f(x;) J≠l ④m阶多项式的差商是一个常量
说明： ③ 差商可以分解为下述形式： 0 1 1 1 1 1 [ , , , ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) k k i i i i i i i i k f x x x f x = x x x x x x x x − + = − − − − 1 1 ( ) ; ( ) k i k i i j j j i f x x x = = = − ④ n阶多项式的差商是一个常量