R(x)=f(x)-pt(r =∫n(x)-n!/Ix0,x,…,x 因此有R(5)=∫(5)-m!/x,x,…,xn=0 即得f1x0,x1;…,xn= f"() ,5∈J —差商和导数的关系式 结论 若fx)为n阶多项式,则由上式可知,其n阶差商为一常数
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n R x f x P x n n = − 0 1 ( )( ) ! [ , , , ] n n = − f x n f x x x 因此有 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ! [ , , , ] n n R f n f x x x n n = − = 即得 0 1 ( )( ) [ , , , ] , . ! n n f f x x x J n = ——差商和导数的关系式 结论： 若f(x)为n阶多项式，则由上式可知，其n阶差商为一常数
flo,x, f"(5) 若在上述n+1个节点x0…,xn的基础上再增加节点x, 所界插值区间记为,则同理可得 fo,x,,xu,x= fm(2) ,5∈I. (n+1)!
若在上述n+1个节点x0 ,...,xn的基础上再增加节点x， 所界插值区间记为I，则同理可得 1 0 1 1 ( )( ) [ , , , , ] , . ( )! n n f f x x x x I n + = + 0 1 ( )( ) [ , , , ] , . ! n n f f x x x J n =
(2)对余式的估计之方法 Rn(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)fx,x,…,xn,x fx。,x,…,xn,x= f(2) 5∈L. n (n+1) (2) Rn(x)=(x-xo(x-x) (x-xu) n+ 记为 n+1 (n+1) () n+1 (n+1) n+1
（2）对余式的估计之方法一 0 1 0 1 ( ) ( )( ) ( ) [ , , , , ] R x x x x x x x f x x x x n n n = − − − 1 0 1 1 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )! n n n f R x x x x x x x n + = − − − + 1 1 1 ( )( ) ( ) ( )! n n f x n + + = + 1 ( ) n x 记为 + 若 1 1 ( )( ) , n n f M + + 则 1 1 1 ( ) ( ) ( )! n n n M R x x n + + + 1 0 1 1 ( )( ) [ , , , , ] , . ( )! n n f f x x x x I n + = +
令团叫=(t-1)…(-(n-1) 图形特点: 振幅两头大中间小; ·ⅹ在插值区间外(外插)时,振幅非常大,即外插误差大
-1 0 1 2 3 4 5 6 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 t t[6] 图形特点： • 振幅两头大中间小； • x在插值区间外（外插）时，振幅非常大，即外插误差大。 令t n t t t n [ ] ( ) ( ( )) = − − − 1 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 t t[7]
(2)对余式的估计之方法二:事后估计法 用P(x)表示以节点x,x,…’xn建立的插值公式, 另取一个节点xn,并用P(x)表示以节点x,…,x2,xm 建立的插值公式,相应的余式为 R, (x=f(x)-p(x) fH(5) =(x-x0)x-x)…(x-xn) (n+1)! R0(x)=f(x)-P(x) font(s) (x-x1)…(x-xn)(x-xn+) (n+1)!
（2）对余式的估计之方法二：事后估计法 用 P x n ( ) 表示以节点 x x x 0 1 , , , n 建立的插值公式， 另取一个节点 并用 表示以节点 建立的插值公式，相应的余式为 1 , n x + 1 1 , , , n n x x x + ( ) 1 ( ) P x n ( ) ( ) ( ) R x f x P x n n = − ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) R x f x P x n n = − 1 1 0 1 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )! n n f x x x x x x n + = − − − + 1 2 1 1 1 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )! n n n f x x x x x x n + = − − − + +