常系数非齐次线性微分方程 一、f(x)=ePm(x)型 二、f(x=e2IP(x)oswx+Pn(x)sin@x型 三、高阶线性微分方程的物理应用举例
常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 f x Pl x x x ( ) = e [ ( )cos P (x)sin x] + n 三、高阶线性微分方程的物理应用举例 型 f (x) e P (x) m x = 型
f(x)=eP(x)cos@x+P(x)sin@x 入，o为实数，P(x)Pn(x)分别为l、n次多项式. 入=0→f(x)=P(x)cos@x+Pn(x)sin@x >特解形式 y=xexR(x)cosox+R(x)sin@x P(x),R2(x)为m次多项式m=max{l,n 入+io不是特征方程的根→=0 (入+io是特征方程的根 =→k=1 >解题步骤 设特解 写出fx),明确入、o和m 写出特征方程，确定k 求特解 代入方程，比较系数 列出等式，求出系数
,ω为实数 , ( ) e ( )cos ( )sin x l n f x P x x P x x = + =0 ➢特解形式 (1) (2) e ( )cos ( )sin k x m m y x R x x R x x = + +iω 不是特征方程的根 k=0 +iω 是特征方程的根 k=1 ➢解题步骤 写出f(x)，明确、ω和m 写出特征方程，确定k 设特解 求特解 代入方程，比较系数 列出等式，求出系数 ( ) P x l ( ) 分别为l、n次多项式 . P x n ( ) ( )cos ( )sin l n f x P x x P x x = + (1) (2) ( ), ( ) R x R x m m 为m次多项式 m l n = max{ , }
◆例4求方程y”+y=xcos2x的一个特解. 解：f(x)=xc0s2x九=0,0=2，m=1 对应的齐次方程的特征方程：r2+1=0 入+i0=2不是特征方程的根， 设特解y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x 代入方程得 (-3ax-3b+4c)cos2x-(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x -3a=1 比较系数，得 -3b+4c=0a=},d= -3c=0 b=C=0 -3d-4a=0 方程的特解 =3 xcos2x+sin2x
◆例4 的一个特解 . 解: = = = 0, 2, 1 m 设特解 不是特征方程的根, 代入方程得 (−3a x −3b + 4c)cos 2x − (3c x + 3d + 4a)sin 2x = xcos 2x 1 0 2 r + = 比较系数 , 得 9 4 3 1 = , = − a d 方程的特解 − 3a =1 −3b + 4c = 0 − 3c = 0 − 3d − 4a = 0 b = c = 0 f x x x ( ) cos 2 = 对应的齐次方程的特征方程：
◆例5求方程y”+9y=18cos3x-30sin3x的通解. 解： 对应的济次方程的特征方程：r2+9=0, 特征根12=士31 对应齐次方程的通解Y=C1cos3x+C2sin3x f(x)=18cos3x-30sin3x2=0,0=3,m=0 3i为特征方程的单根， 设非齐次方程特解y*=x(acos3x+bsin3x) 代入方程：6bcos3x-6asin3x=18cos3x-30sin3x 比较系数，得a=5,b=3, 因此特解为y*=x(5cos3x+3sin3x) 所求通解为 y=C]cos3x+C2 sin3x+x(5cos3x+3sin3x)
◆例5 求方程 y + 9y =18cos3x −30sin3x 的通解. 解: 9 0, 2 r + = 特征根 对应齐次方程的通解 比较系数, 得 因此特解为 y* = x (5cos3x + 3sin3x ) 代入方程: 6bcos3x − 6asin3x 所求通解为 为特征方程的单根 , + x(5cos3x + 3sin3x ) 设非齐次方程特解 对应的齐次方程的特征方程： f x x x ( ) 18cos 3 30sin 3 = − = = = 0, 3, 0 m
◆例6求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式： (）y④+2y”+y=sinx (2)y)+y"=x+e*+3sinx 解：()特征方程4+2r2+1=0,即(r2+1)2=0, 有二重根r=士所以设非齐次方程特解为 y*=x2(a cosx+b sinx) (2)￥ 特征方程r4+r2=0,即r2(r2+1)=0 有根1,2=0,3.4=士1 利用叠加原理，可设非齐次方程特解为 y*=x2(ax+b)+ce*+x(dcosx+ksinx)
◆例6 (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 有根 y y x x x (2) e 3sin (4) + = + + 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 + x (d cos x + k sin x ) 求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 解: