符号. J.W.A.Young,1907. 18.p24.经验告诉我们，学习数学的人懂得如何进行完 善的推理，一个人仅仅知道他所满意的那些事情是很 不够的其次，数学能够帮助学生们去更好地学习其他 课程.人们在学习过程中，可能会自认为自己的理解力 如何高超，但在许多情况下，往往会由于对事物的表面 理解与肤浅认识而导致失败，因为对于事物的肤浅认 识与表面理解，会使人不了解自己对事物的主观臆断， 以致不能对该事物进行扩展，今儿就不能发挥和发展 自身之理解力的敏锐性和渗透性 John Locke. 19.p25.数学是一种方法.数学能使人们思维方式严格 化，养成有步骤地进行推理的习惯.当然，我并不主张 所有的人都成为知识渊博的数学家，而只是认为，人们 通过学习数学，能使他们的理智获得逻辑推理的方法， 由此他们就有可能去把知识进行推广和发展.对于种 种推理而言，每个论点都要象数学证明那样去论证，弄 明白各种观点之间的相互联系和相互依存关系，直到 找出其中之根源于本质所在为止. John Locke. 20.p25.纯数学的学习和研究，作为推理能力的训练
符号. J.W.A.Young,1907. 18.p24.经验告诉我们,学习数学的人懂得如何进行完 善的推理,一个人仅仅知道他所满意的那些事情是很 不够的.其次,数学能够帮助学生们去更好地学习其他 课程.人们在学习过程中,可能会自认为自己的理解力 如何高超，但在许多情况下,往往会由于对事物的表面 理解与肤浅认识而导致失败，因为对于事物的肤浅认 识与表面理解,会使人不了解自己对事物的主观臆断， 以致不能对该事物进行扩展,今儿就不能发挥和发展 自身之理解力的敏锐性和渗透性. John Locke. 19.p25.数学是一种方法.数学能使人们思维方式严格 化，养成有步骤地进行推理的习惯.当然，我并不主张 所有的人都成为知识渊博的数学家,而只是认为,人们 通过学习数学,能使他们的理智获得逻辑推理的方法, 由此他们就有可能去把知识进行推广和发展.对于种 种推理而言,每个论点都要象数学证明那样去论证,弄 明白各种观点之间的相互联系和相互依存关系,直到 找出其中之根源于本质所在为止. John Locke. 20.p25. 纯数学的学习和研究,作为推理能力的训练
而言，则是是最好没有的.因为数学推理是一种纯粹 的逻辑推理，因而不会受武断的影响数学的优越之 处在于一旦开始研究了某种一事物，便能在智力练 习中对事物进行分解与组合. R.Whately,1873. 21.p26.在数学或其他纯科学中，在几何、算术、代 数、三角学，以及关于变量或曲线的微积分中，其 最原始的原则是没有也不可能有错误的，因而我们 在此就只要把注意力集中与推理过程.上述这些学 科都是基于空间与数的原始真理的，因而通常认为 这些学科所提供的理论都是正确的.柏拉图曾在他 的哲学学校门口张榜声明：“不熟悉几何学者请勿 入内.”但这并不表示那些涉及线与面的问题要在 他的各种课程中进行讨论，相反地，他所注意的那 些论题，却都是些关于社会的、政治的和道德的深 刻问题.对于这些问题的探索，思维本身也能收到 锻炼.柏拉图及其追随者企图得到关于人的存在、 责任、尊严及人们与他们所面对的上帝与未知世界 之关系的结论.然而几何与这些事情有什么关系 呢？简言之，一个人如果没有经过系统的推理思维 的严格训练，他就不能适应讨论和探索上述那些高
而言，则是是最好没有的.因为数学推理是一种纯粹 的逻辑推理，因而不会受武断的影响.数学的优越之 处在于一旦开始研究了某种一事物,便能在智力练 习中对事物进行分解与组合. R.Whately,1873. 21.p26. 在数学或其他纯科学中,在几何、算术、代 数、三角学，以及关于变量或曲线的微积分中，其 最原始的原则是没有也不可能有错误的，因而我们 在此就只要把注意力集中与推理过程.上述这些学 科都是基于空间与数的原始真理的，因而通常认为 这些学科所提供的理论都是正确的.柏拉图曾在他 的哲学学校门口张榜声明： “不熟悉几何学者请勿 入内.”但这并不表示那些涉及线与面的问题要在 他的各种课程中进行讨论，相反地，他所注意的那 些论题，却都是些关于社会的、政治的和道德的深 刻问题.对于这些问题的探索，思维本身也能收到 锻炼.柏拉图及其追随者企图得到关于人的存在、 责任、尊严及人们与他们所面对的上帝与未知世界 之关系的结论.然而几何与这些事情有什么关系 呢？简言之，一个人如果没有经过系统的推理思维 的严格训练，他就不能适应讨论和探索上述那些高
级的论题.人们所需获得之逻辑知识与从几何学中 好的的知识十分相似，几何学在柏拉图时代是唯一 的被系统化了的科学.在我们英国也是长期地在同 样的原则之下行动的.我们未来的律师、牧师和政 治家都要在大学里学习有关曲线、角度、数量及比 例等数学知识，这并不是因为这些数学课程与他们 的生活需要或攻读方向有多大的关系，而是因为他 们通过学习这些数学知识，就能使之养成坚定不移 的、严格而精确的思维习惯，这对于今后取得成功 是必不可少的 J.C.Fitch,1906. 22.p27.如所周知，善于推理的能力不是天生的.经验 告诉我们，教育能促使那些潜在能力的发展，如果 没有教育，这些能力就发展不起来正如要获得游泳 和筑围墙的技术，就必须先去学习游泳和筑围墙一 样，要获得推理的技巧和具有推理的能力，也必须 先去学习推理为了推理，我们要选取和掌握各种思 想与材料，要研究语言、数学与历史.当我们对某 些事物进行推理时，只要这些食物其实是可以进行 推理的，那么推理本身与事物自身之间究竟是什么 关系的问题不是最重要的，关键是在推理之外，还 要用其他方法去验证推理结果之真伪.在推理过程
级的论题.人们所需获得之逻辑知识与从几何学中 好的的知识十分相似，几何学在柏拉图时代是唯一 的被系统化了的科学.在我们英国也是长期地在同 样的原则之下行动的.我们未来的律师、牧师和政 治家都要在大学里学习有关曲线、角度、数量及比 例等数学知识，这并不是因为这些数学课程与他们 的生活需要或攻读方向有多大的关系，而是因为他 们通过学习这些数学知识，就能使之养成坚定不移 的、严格而精确的思维习惯，这对于今后取得成功 是必不可少的. J.C.Fitch, 1906. 22.p27.如所周知，善于推理的能力不是天生的.经验 告诉我们，教育能促使那些潜在能力的发展，如果 没有教育，这些能力就发展不起来.正如要获得游泳 和筑围墙的技术，就必须先去学习游泳和筑围墙一 样，要获得推理的技巧和具有推理的能力，也必须 先去学习推理.为了推理，我们要选取和掌握各种思 想与材料，要研究语言、数学与历史.当我们对某 些事物进行推理时，只要这些食物其实是可以进行 推理的，那么推理本身与事物自身之间究竟是什么 关系的问题不是最重要的，关键是在推理之外，还 要用其他方法去验证推理结果之真伪.在推理过程
中，我们一旦确认天然磁铁指向性之后，就要对这 一新发现去作应用性研究，并在应用中前进.我们 在发现新航道之前，必须在一致的港口之间构筑许 多航道.因此，我们的推理能力就在于：在我们完 全相信可以推理之前，我们可以用其他的方法来确 证推理要素的真与假.基于下列原则，可以确认数 学是最适合于进行推理的学科： 1.任何术语都被清楚地解释，且仅有唯一的含义， 很少用两个词来定义同一个概念 2.原始公理来自大量的观察，并且都是十分明白 的. 3.证明过程都严格地合乎逻辑而毫不含糊，不受 任何权威意见之约束或限制. 4.推理结果之真伪总能用其他方法进行验证 5.数学中不存在那种意义含混的词，种种表示程 度 差别的或言词过甚的形容词或副词都不予使 用. Augustus De Morgan,1893. 23.p28.学习数学是为了探索宇宙的奥秘.如所知，星 球与地层、热与电、变异与存在的规律，无不涉及数 学真理.如果说语言反映和揭示了造物主的心声，那
中，我们一旦确认天然磁铁指向性之后，就要对这 一新发现去作应用性研究，并在应用中前进.我们 在发现新航道之前，必须在一致的港口之间构筑许 多航道.因此，我们的推理能力就在于：在我们完 全相信可以推理之前，我们可以用其他的方法来确 证推理要素的真与假.基于下列原则，可以确认数 学是最适合于进行推理的学科： 1.任何术语都被清楚地解释，且仅有唯一的含义， 很少用两个词来定义同一个概念. 2.原始公理来自大量的观察，并且都是十分明白 的.3.证明过程都严格地合乎逻辑而毫不含糊，不受 任何权威意见之约束或限制. 4.推理结果之真伪总能用其他方法进行验证. 5.数学中不存在那种意义含混的词，种种表示程 度 差别的或言词过甚的形容词或副词都不予使 用. Augustus De Morgan，1893. 23.p28.学习数学是为了探索宇宙的奥秘. 如所知，星 球与地层、热与电、变异与存在的规律，无不涉及数 学真理.如果说语言反映和揭示了造物主的心声，那
么数学就反映和揭示了造物主的智慧，并且反复地重 复着事物如何变异为存在的故事.数学集中并引导着 我们的精力、自尊与愿望去认识真理，并由此而生活 在上帝的大家庭中.正如文学诱导人们的情感与了解 一样，数学则启发人们的想象和推理 W.E.Chancellor,1907. 24.p28.完全离开数学知识，那么即使是世界上最简 单的现象也是无法了解的.随着对自然界奥秘的深入 探索，同时也就使得数学充分地发展 J.W.A.Young,1907. 25,p29.数学知识对于我们来说，其价值不只是由于 它是一种有力的工具，同时还在于数学自身的完美. 在数学内部或外部的展开中，我们看到了最纯粹的逻 辑思维活动，以及最高级的智力活动的美学体现. Alfred Pringsheim. 26.根据数学中的形式与内容的交互作用，学生们逐 步地熟悉了数学方法，使得他们能以通过自己的努力， 在一定限度内产生和扩充自己的知识，而且日益加强 了与这些活动相关的理智活动的自觉性和自信心.所 有这些都是数学训练所导致的最美丽与最杰出的结 果 Alfred Prinshelm,1904
么数学就反映和揭示了造物主的智慧，并且反复地重 复着事物如何变异为存在的故事.数学集中并引导着 我们的精力、自尊与愿望去认识真理，并由此而生活 在上帝的大家庭中.正如文学诱导人们的情感与了解 一样，数学则启发人们的想象和推理. W.E.Chancellor,1907. 24.p28.完全离开数学知识，那么即使是世界上最简 单的现象也是无法了解的.随着对自然界奥秘的深入 探索，同时也就使得数学充分地发展. J.W.A.Young,1907. 25,p29.数学知识对于我们来说，其价值不只是由于 它是一种有力的工具，同时还在于数学自身的完美. 在数学内部或外部的展开中，我们看到了最纯粹的逻 辑思维活动，以及最高级的智力活动的美学体现. Alfred Pringsheim. 26.根据数学中的形式与内容的交互作用，学生们逐 步地熟悉了数学方法，使得他们能以通过自己的努力， 在一定限度内产生和扩充自己的知识，而且日益加强 了与这些活动相关的理智活动的自觉性和自信心.所 有这些都是数学训练所导致的最美丽与最杰出的结 果. Alfred Prinshelm,1904