定理8.1.1 任一矩阵A可经过若干次初等行变换化为行阶梯形阵 算法一：步骤如下（证明已蕴含在步骤里）： 0..0 A'= 0...0 0 B 0.·0 0 。用调行变换使A的第一个非零列的最上元不为零 ©用行消去变换使A的第一个非零列的其他元素均变为0 O对矩阵B重复以上(1)、(2)两步，以此类推 思考：一个可逆的行阶梯形矩阵是？ 张鞘同济大学 4/37
. 定理 8.1.1 . .任一矩阵 A 可经䗷若干次初等行变换化为行阶梯形阵. 算法一: 步骤如下 (证明已蕴含在步骤里): A ′ = . 0. · · ·. 0. . ∗. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .B. ′ . 0. · · ·. 0. 0. . . . . . .1 用调行变换使 A 的第一个非零列的最上元不为零. .2 用行消去变换使 A 的第一个非零列的其他元素均变为 0. 3. 对矩阵 B ′ 重复以上 (1)、(2) 两步，以此类推. ᙍ㘳：一个可逆的行阶梯形矩阵是？ ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 4 / 37
定义8.1.3 称A为行最简形矩阵，若A满足 。A是行阶梯形阵： ⊙各非零行的首元均为1； ⊙首元所在列的其余元素均为0 即：全部首元行和首元列确定的子矩阵是个单位矩阵 一股形式 每个首元的左面、下而全是零 00100 000010 0000001 0.000000.0 张鞘同济大学 5/37
. 定义 8.1.3 . . 称 A 为行最简形矩阵，若 A 满䏣: .1 A 是行阶梯形阵; .2 非零行的首元均为 1; 3. 首元所在列的其։元素均为 0. 即：全部首元行和首元列确定的子矩阵是个单位矩阵. . 一㡢形ᕅ . . (每个首元的左面、下面全是零) . 0. · · ·. 0. 1. ∗. · · ·. 0. ∗. · · ·. 0. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 1. ∗. · · ·. 0. · · ·. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 1. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 0. · · ·. 0. . . ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 5 / 37
定义8.1.3 称A为行最简形矩阵，若A满足 。A是行阶梯形阵： ⊙各非零行的首元均为1； ⊙首元所在列的其余元素均为0 即：全部首元行和首元列确定的子矩阵是个单位矩阵 一般形式 (每个首元的左面、下面全是零) 0…01*…0*…0…* 0…0001*…0…* 0…000…001 0.000…00…0…0 张鞘同济大学 5/37
. 定义 8.1.3 . . 称 A 为行最简形矩阵，若 A 满䏣: .1 A 是行阶梯形阵; .2 非零行的首元均为 1; 3. 首元所在列的其։元素均为 0. 即：全部首元行和首元列确定的子矩阵是个单位矩阵. . 一㡢形ᕅ . . (每个首元的左面、下面全是零) . 0. · · ·. 0. 1. ∗. · · ·. 0. ∗. · · ·. 0. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 1. ∗. · · ·. 0. · · ·. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 1. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 0. · · ·. 0. . . ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 5 / 37
定理8.1.2 任一矩阵A可经过若干次初等行变换化为行最简形阵 算法二：步骤如下（证明已蕴含在步骤里）： 0 0·..000.., A= 0·…·000.··00·· 0*·000.·00··0..·0 。用数乘变换使A的所有首元素均变为1 ©对每个首元列依次用行酒去变换4中首元素上方的无素均变为0 思考：一个可逆的行阶梯形炬阵是？ 张鞘同济大学 6/37
. 定理 8.1.2 . .任一矩阵 A 可经䗷若干次初等行变换化为行最简形阵. 算法二: 步骤如下 (证明已蕴含在步骤里): A = . 0. · · ·. 0. . ∗. · · ·. ∗. ∗. · · ·. ∗. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. . ∗. · · ·. ∗. · · ·. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. . · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 0. · · ·. 0. . . .1 用数乘变换使 A 的所有首元素均变为 1. .2 对每个首元列依次用行消去变换 A 中首元素上方的元素均变为 0. ᙍ㘳：一个可逆的行阶梯形矩阵是？ ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 6 / 37
定理8.1.2 任一矩阵A可经过若干次初等行变换化为行最简形阵 算法二：步骤如下（证明已蕴含在步骤里）： A= 0000…00…1…* 0…000.…00…0·0 。用数乘变换使A的所有首元素均变为1 ©对每个首元列依次用行消去变换A中首元素上方的元素均变为0. 思考：一个可逆的行阶梯形矩阵是 张鞘同济大学 6/37
. 定理 8.1.2 . .任一矩阵 A 可经䗷若干次初等行变换化为行最简形阵. 算法二: 步骤如下 (证明已蕴含在步骤里): A = . 0. · · ·. 0. 1. ∗. · · ·. ∗. ∗. · · ·. ∗. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 1. ∗. · · ·. ∗. · · ·. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 1. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 0. · · ·. 0. . . .1 用数乘变换使 A 的所有首元素均变为 1. .2 对每个首元列依次用行消去变换 A 中首元素上方的元素均变为 0. ᙍ㘳：一个可逆的行阶梯形矩阵是？ ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙᮦ 6 / 37