上面结论的一个推广是,一个函数及其直到r阶导数是L2可积的当且只 (1+|u2)ya(u)adu<∞ 定义函数空间H为4x是有界的函数的全体 对于双曲方程 au at 如果只对空间变量进行 Fourier分析,我们有 容易知道 i(t 由 Parseval等式, Ju(t, a)da Ja(t,w)2 - iota o(w)lo Jio(w)-dw luo(a)l 2.3 The Fourier Transform in Higher Dimen- SIons 高维的 Fourier变换定义为 u(a)e-d 相应的反变换为 2x)/2 i(w)e 10
þ¡(Øí2´§¼ê9Ùr ê´L 2È X∞ m=−∞ (1 + |ω| 2 ) r |uˆ(ω)| 2 dω < ∞ ½Â¼êmHrkukHr´k.¼ê N kukHr = X∞ m=−∞ (1 + |ω| 2 ) r |uˆ(ω)| 2 dω!1 2 éuV§ ∂u ∂t + a ∂u ∂x XJémCþ?1Fourier©Û§·k uˆt = −iaωuˆ N´ uˆ(t, ω) = e −iaωtuˆ0(ω) dParseval ª§ Z ∞ −∞ |u(t, x)| 2 dx = Z ∞ −∞ |uˆ(t, ω)| 2 dω = Z ∞ −∞ |e −iaωtuˆ0(ω)| 2 dω = Z ∞ −∞ |uˆ0(ω)| 2 dω = Z ∞ −∞ |u0(x)| 2 dx 2.3 The Fourier Transform in Higher Dimensions pFourierC½Â uˆ(ω) = 1 (2π) N/2 Z RN u(x)e −iω·x dx AC u(x) = 1 (2π) N/2 Z RN uˆ(ω)e iω·x dx 10
类似地我们有离散变换:对:∈[-丌/h,r/h] (5) 和反变换公式 Um(2T)N/2J(-a/h m/a v(E)deems 2.4 Von Neumann analysis 我们看下面的计算格式 四-m+a2m-m==0 k h 这个计算格式可以写成: n+1=(1-a入)mn+a入tm-1,A=k/h 对v用 Fourier反变换公式,我们有 /h i(S) mnsds 把它代入上述计算格式,我们有 emh[(1-aA)+aAe-ihgin(s)dE 把这个公式与 Fourier反变换格式比较, it(S)ende 由于 Fourier变换的系数是唯一的,我们就有 +1()=[(1-a)+aAe-k]n()=9(h)i()
aq/·klÑCµéξ ∈ [−π/h, π/h] N , vˆ(ξ) = 1 (2π) N/2 X m∈ZN vme −ihm·ξh N ÚCúª vm = 1 (2π) N/2 Z [−π/h,π/h]N vˆ(ξ)dξeihm·ξ 2.4 Von Neumann analysis ·we¡Oªµ v n+1 m − v n m k + a v n m − v n m−1 h = 0 ùOª±¤µ v n+1 m = (1 − aλ)v n m + aλvn m−1 , λ = k/h év n^FourierCúª§·k v n m = 1 √ 2π Z π/h −π/h vˆ n (ξ)e imhξdξ r§\þãOª§·k v n+1 m = 1 √ 2π Z π/h −π/h e imhξ [(1 − aλ) + aλe−ihξ]ˆv n (ξ)dξ rùúªFourierCª'§ v n+1 m = 1 √ 2π Z π/h −π/h vˆ n+1(ξ)e imhξdξ duFourierCXê´§·Òk vˆ n+1(ξ) = [(1 − aλ) + aλe−ihξ]ˆv n (ξ) = g(hξ)ˆv n (ξ) 11
这里增长因子 如果初始状态的 Fourier变换是o(5,则 0()=g(h)() 由此我们可以研究上述计算格式的稳定性,由 Parseval,系 t/h ∑P= /h "(5)2d 9(h)2|()2d n=--oo 我们看到只要l9(h)是有界的,则计算格式就是稳定的设b=h g(6)2=1-4aX(1-a)sin2=0 如果0<a入<1,则 ()d=h∑mP /h 所以计算格式是稳定的 2.5 The Stability Condition Theorem. 9 A one-step finite difference scheme(with constant coefficients) is stable if and only if there is a constant K (independent of 0, k and h)and some positive grid spacings ko and ho such that g(6,k,b)≤1+Kk for all 0, 0<k< ko and0<h< ho. If g(0, k, h) is independent of h and k the stability condition can be replaced with g()≤1 12
ùpOÏf g(hξ) = (1 − aλ) + aλe−ihξ XJЩGFourierC´vˆ 0 (ξ)§K vˆ n (ξ) = g(hξ) n vˆ 0 (ξ) dd·±ïÄþãOª½5§dParseval'X§ h X∞ m=−∞ |v n m| 2 = Z π/h −π/h |vˆ n (ξ)| 2 dξ = Z π/h −π/h |g(hξ)| 2n |v 0 (ξ)| 2 dξ ·w|g(hξ)| 2n´k.§KOªÒ´½,θ = hξ |g(θ)| 2 = 1 − 4aλ(1 − aλ) sin2 1 2 θ XJ0 ≤ aλ ≤ 1§K h X∞ m=−∞ |vˆ n m| 2 ≤ Z π/h −π/h |vˆ 0 (ξ)| 2 dξ = h X∞ m=−∞ |v 0 m| 2 . ¤±Oª´½" 2.5 The Stability Condition Theorem. 9 A one=step finite difference scheme (with constant coefficients) is stable if and only if there is a constant K (independent of θ,k, and h) and some positive grid spacings k0 and h0 such that |g(θ, k, h)| ≤ 1 + Kk for all θ, 0 < k ≤ k0 and 0 < h ≤ h0. If g(θ, k, h) is independent of h and k, the stability condition can be replaced with g(θ) ≤ 1 12
在使用中,我们只需要把om换成g"em0就可以计算出增长因子 Example我们看 forward- time and central- space计算格式: 0 把vn换成gem n+l ime-y"eime a9"e(m+1)0-ge(m-1) k 2h 2h 可以得到增长因子是 k 9=l-iaA sin 8, A h 如果λ是常数,那么g与h和k无关,且 9g(6)2=1+a22sin20 因为对不等于0和r9(0)大于1,因此计算格式是不稳定的。口 Example.10考虑下面的例子: 我们用 Lax-friedrichs格式 n+1 ( 容易知道增长因子是 g(0, k, h)=cos 6-iaA sin 0+ k 因此 19l2=(cos 0+k)+asin 0 13
3¦^¥§·Irv n m¤g n e imθÒ±OÑOÏf Example ·wforward-time and central-spaceOªµ v n+1 m − v n m k + a v n m+1 − v n m−1 2h = 0 rv n m¤g n e imθ g n+1e imθ−g ne imθ k + a g n e i(m+1)θ−g ne i(m−1)θ 2h = g n e imθ g − 1 k + a e iθ−e −iθ 2h ! = 0 ±OÏf´ g = 1 − iaλ sin θ, λ = k h XJλ´~ê§@oghÚkÃ'§ |g(θ)| 2 = 1 + a 2λ 2 sin2 θ ÏéθØ u0Úπ,|g(θ)|u1§ÏdOª´Ø½" Example. 10 Äe¡~fµ ∂u ∂t + a ∂u ∂x − u = 0 ·^Lax-Friedrichsª v n+1 m − 1 2 (v n m+1 + v n m−1 ) k + a v n m+1 − v n m−1 2h − v n m = 0 N´OÏf´ g(θ, k, h) = cos θ − iaλ sin θ + k Ïd |g| 2 = (cos θ + k) 2 + a 2λ 2 sin2 θ 13
当l川≤时,!2≤(1+k)2,计算格式是稳定的。注意到由于连续问题 的解是随t增长的,所以任何相容,稳定的计算格式必须对某些θ值的增 长!大于1。口 反例:如果对给定正常数C,存在θ∈团1,的2],h∈(0,1和k∈(0,k, 而!(6,k,M)≥1+Ck,构造vm使得 °(5)= if he g[01, 021 √(②2-61)-ifh∈a,2] 那么取n=[T/ l"lh≥(1+Ck)2n、1xch 这说明格式是不稳定的。口 Corollary. 11 If a scheme as in Theorem is modified so that the modifi cations result only in the addition to the amplification factor of terms that are O(k) uniformly in $, thethe modified scheme is stable if and only if the original scheme is stable 2.6 Numerical Stability and dynamic stabil 考虑方程: ta a c +hu a= 0 at 如果b是正的,那么这个方程是动力稳定的,因为当t增加的时候,解是衰 减的。如果b是小于零的,那么解是动力不稳定的,因为解随着时间增加而 增长。而对于这个方程的有限差分格式,数值稳定性是与b的值无关的。对 任意给定的值b,我们可以用任何收敛的格式去计算,当然用一个数值不稳 定的格式计算动力稳定的方程将不能得到收敛的解
|aλ| ≤§|g| 2 ≤ (1 + k) 2§Oª´½"5¿duëY¯K )´tO§¤±?ÛN§½Oª7Lé, θO |g|u1" ~: XJé½~êC§3θ ∈ [θ1, θ2]§h ∈ (0, h0]Úk ∈ (0, k0]§ |g(θ, k, h)| ≥ 1 + Ck§Ev 0 m¦ vˆ 0 (ξ) = 0 if hξ 6∈ [θ1, θ2] p h(θ2 − θ1) −1 if hξ ∈ [θ1, θ2] @on = [T/k] kv n k 2 h ≥ (1 + Ck) 2n ≥ 1 2 e 2T Ckv 0 k 2 h ù`²ª´Ø½" Corollary. 11 If a scheme as in Theorem is modified so that the modifi- cations result only in the addition to the amplification factor of terms that are O(k) uniformly in ξ, the the modified scheme is stable if and only if the original scheme is stable. 2.6 Numerical Stability and Dynamic Stability ħµ ∂u ∂t + a ∂u ∂x + bu = 0 XJb´§@où§´Ä彧ÏtO\ÿ§)´P ~"XJb´u"§@o)´Äåؽ§Ï)XmO\ O" éuù§k ©ª§ê½5´bÃ'"é ?¿½b§·±^?ÛÂñªO§,^êØ ½ªOÄ彧òØUÂñ)" 14