、换元积分法 第一换元积分法(凑微分法) 例1求 解被积函数e是复合函数,不能直接套用公式 edx=e+C,我们可以把原积分作下列变形后计算: 令=3 d(3x) du==e+0 回代1 直接验证得知,计算方法正确 例2求2xedx 解注意到被积式中含有ex项,而余下的部分恰有 微分关系:2xdx=d(x2).于是类似于例1,可作如下变 换和计算 冈凶
1．第一换元积分法(凑微分法) 直接验证得知,计算方法正确． 例 1 求 x x e d 3 . 解 被积函数 3x e 是复合函数，不能直接套用公式 e x dx = e x +C ，我们可以把原积分作下列变形后计算： = = u x x x x x 3 e d(3 ) 3 1 e d 3 3 令 u = +C u u e 3 1 e d 3 1 回代 3 1 C x + 3 e . 例 2 求 x x x 2 e d 2 ． 解 注意到被积式中含有 2 e x 项,而余下的部分恰有 微分关系： 2 2 d d( ) x x x = ．于是类似于例 1,可作如下变 换和计算： 一、换元积分法
2xe"dx=|e d(x2) e du=e+c 回代 上述解法的特点是引入新变量u=0(x),从而把原 积分化为关于u的一个简单的积分,再套用基本积分公 式求解,现在的问题是,在公式「edx=e+C中,将 x换成了u=9(x),对应得到的公式[ed=e“+C是否 还成立?回答是肯定的,我们有下述定理: 定理如果∫(x)k=F(x)+C,则 f(udu= F(u)+C 其中=0(x)是的任一个可微函数 证 由于「f(x)dx=F(x)+C,所以 dF(x)=f(x)dx.根据微分形式不变性,则有: dF()=f(u)d.其中u=(x)是的可微函数,由此得 冈凶
2 e d e d( ) e d e e . 2 2 2 2 2 u C C u x x x x x x u u x = + + = = 令 回代 上述解法的特点是引入新变量u =(x),从而把原 积分化为关于u的一个简单的积分，再套用基本积分公 式求解,现在的问题是，在公式 x = +C x x e d e 中，将 x 换成了u = (x) ,对应得到的公式 u = +C u u e d e 是否 还成立?回答是肯定的,我们有下述定理： 定理 如果 f (x)dx = F(x) +C，则 ( )d ( ) . f u u = F u +C 其中u =(x)是x的任一个可微函数． 证 由 于 f (x)dx = F(x) +C , 所 以 dF(x) = f (x)dx．根据微分形式不变性,则有： dF(u) = f (u)du．其中u =(x)是x的可微函数，由此得
f(udu= dF(u)=F(u)+C 这个定理非常重要,它表明:在基本积分公式中, 自变量x换成任一可微函数u=0(x)后公式仍成立 这就大大扩充了基本积分公式的使用范围.应用这 结论,上述例题引用的方法,可一般化为下列计算程 序 flo()lo(xdx 凑微分 flo(xld(x) 回代 f(u)du F(a)+ FLo(x)J+C 这种先“凑”微分式,再作变量置换的方法,叫 第换一元积分法,也称凑微分法 冈凶
( )d d ( ) ( ) . f u u = F u =F u +C 这个定理非常重要，它表明：在基本积分公式中， 自变量x换成任一可微函数u =(x)后公式仍成立． 这就大大扩充了基本积分公式的使用范围．应用这一 结论，上述例题引用的方法, 可一般化为下列计算程 序： ( ) [ ( )] ( )d [ ( )]d ( ) u x f x x x f x x = 凑微分 令 f ( u ) d u F ( u ) + C F [ ( x )] + C . 回代 这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫 第换一元积分法，也称凑微分法．