0O oP 格林公式!ax-0y dxdy=p Pdx+ody D L 推论:正向闭曲线L所围区域D的面积 2JLxdy-ydy x x=acos e 例如,椭圆L y= bsin,0≤O≤2所围面R tA= xay=yar 2JL 2丌 2Jo(abcos 0+absin 8)do=t ab
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 = − L A xdy y dx 2 1 格林公式 = + − D L x y P x Q y y P x Q d d d d 例如, 椭圆 , 0 2 sin cos : = = y b x a L 所围面积 = + 2 0 2 2 ( cos sin )d 2 1 ab ab = ab 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明 2xydx+x dy=o 证:令P=2xy,Q=x2,则 =2x-2x=0 Ox a 利用格林公式,得 2xydx+xdy=lodxdy=0 D
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 2 d d 0 2 + = xy x x y L 证: 令 2 , , 2 P = xy Q = x 则 利用格林公式 , 得 xy x x y L 2 d d 2 + = D 0dx dy = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2计算1yddy其中D是以0o),() B(0,1)为顶点的三角形闭域 2 解:令P=0,Q=xey,则 oQ aP B(0,1) A(1,1) OrOk D 利用格林公式,有 X 2 e y ddv=「xe-yd X aD e dy OA e
例2. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 2 0, y P Q xe − = = 利用格林公式 , 有 − = D y x e dy 2 x e y OA y d 2 − = ye y y d 1 0 2 − = (1 ) 2 1 −1 = − e y = x o y x A(1,1) B(0,1) D 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3计算∫1-2 y-1 其中L为一无重点且不过原点 x 的分段光滑正向闭曲线 解:令P= Q x +y 2 则当x2+y2≠0时,=y aP 2,,,22 x(x+y 2 ay 设L所围区域为D,当00gD时由格林公式知 xdy-ydx 0 L 1x-+y
例3. 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 0 , 则当x 2 + y 2 时 设 L 所围区域为D, 当(0,0)D时, 由格林公式知 y o x L 机动 目录 上页 下页 返回 结束