3.1不等关系与不等式 学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大 小.3.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题 1问题导学 知识点一不等关系 思考限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h, 用不等式如何表示? 答案≤40. 梳理试用不等式表示下列关系: (1)a大于b (2)a小于b (3)a不超过b 4)a不小于b 知识点二作差法 思考x2+1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不显而易见.你能想个办法,比 较x2+1与2x的大小,而且具有说服力吗? 答案作差:x+1-2x=(x-1)2≥0,所以x2+1≥2x 梳理作差法的理论依据:abea-b0;a=bea-b=0;∝bea-b<0 知识点三不等式的基本性质 思考试用作差法证明ab,bc→BC. 答案山b,bC→a-b0,b-c>0→a-b+b-c>0→a-c>0→BC. 梳理不等式性质: (1) abe Ka(对称性) (2)a>b,b→Bc(传递性) (3)ab=a+cb+c(可加性); (4)a>b,c>0→aCbc;a>b,c(0→acbc; (5)ab, c>da+c>b+ds (6)a>b>0,cd0→aC>bd小 (7)a>b>0,n∈N,n≥1→a>b (8)a>b>0,n∈N,m≥2V≈√b
最新K12资料 3.1 不等关系与不等式 学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大 小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知识点一 不等关系 思考 限速 40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h， 用不等式如何表示？ 答案 v≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于 b a＞b (2)a 小于 b a<b (3)a 不超过 b a≤b (4)a 不小于 b a≥b 知识点二 作差法 思考 x 2＋1 与 2x 两式都随 x 的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比 较 x 2＋1 与 2x 的大小，而且具有说服力吗？ 答案 作差：x 2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以 x 2＋1≥2x. 梳理 作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0. 知识点三 不等式的基本性质 思考 试用作差法证明 a>b，b>c⇒a>c. 答案 a>b，b>c⇒a－b>0，b－c>0⇒a－b＋b－c>0⇒a－c>0⇒a>c. 梳理 不等式性质： (1)a>b⇔b<a(对称性)； (2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)； (3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； (5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒a n >b n ； (8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒ n a> n b
2题型探究 类型一用不等式(组)表示不等关系 例1某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高 0.1元,销售量就可能相应减少200本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式 表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 解提价后销售的总收入 x-2.5 万 0.1 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5 0.1 0.2 x≥20 反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力,即能用数学语言表示出实际问题中的数 量关系.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时:(1)要先读懂题,设出未知量:(2)抓 关键词,找到不等关系;(3)用不等式表示不等关系.思维要严密、规范 跟踪训练1某钢铁厂要把长度为4000m的钢管截成500m和600m两种.按照生产的 要求,600m的钢管数量不能超过500m钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的 不等式呢? 解设截得500mm的钢管x根,截得600mm的钢管y根.根据题意,应有如下的不等关系: (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm (2)截得600mm钢管的数量不能超过500m钢管数量的3倍 (3)截得两种钢管的数量都不能为负 500x+600y≤4000 3x≥y, 要同时满足上述的三个不等关系,可以用不等式组表示为 x≥0, 类型二比较大小 命题角度1作差法比较大小 例2已知a,b均为正实数.试利用作差法比较a+b与ab+ab的大小 解∵a+B-(ab+aB2)=(a-a2b+(b-ab2) a(a-b)+b(b-a) (a-b)(a-b2)=(a-b)2(a+b) 当a=b时,a-b=0,d+b=ab+ab2; 当a≠b时,(a-b)2>0,a+b0,a+b>ab+aB2 综上所述,a+b≥ab+ab
最新K12资料2 类型一 用不等式(组)表示不等关系 例 1 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本．据市场调查，若单价每提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2 000 本．若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式 表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？ 解 提价后销售的总收入为 8－ x－2.5 0.1 ×0.2 x 万元， 那么不等关系“销售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式 8－ x－2.5 0.1 ×0.2 x≥20. 反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数 量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓 关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范． 跟踪训练 1 某钢铁厂要把长度为 4 000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种．按照生产的 要求，600 mm 的钢管数量不能超过 500 mm 钢管的 3 倍．怎样写出满足上述所有不等关系的 不等式呢？ 解 设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600 mm 的钢管 y 根．根据题意，应有如下的不等关系： (1)截得两种钢管的总长度不能超过 4 000 mm； (2)截得 600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管数量的 3 倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负． 要同时满足上述的三个不等关系，可以用不等式组表示为 500x＋600y≤4 000， 3x≥y， x≥0， y≥0. 类型二 比较大小 命题角度 1 作差法比较大小 例 2 已知 a，b 均为正实数．试利用作差法比较 a 3＋b 3 与 a 2 b＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－(a 2 b＋ab 2 )＝(a 3－a 2 b)＋(b 3－ab 2 ) ＝a 2 (a－b)＋b 2 (b－a) ＝(a－b)(a 2－b 2 )＝(a－b) 2 (a＋b)． 当 a＝b 时，a－b＝0，a 3＋b 3＝a 2 b＋ab 2； 当 a≠b 时，(a－b) 2 >0，a＋b>0，a 3＋b 3 >a 2 b＋ab 2 . 综上所述，a 3＋b 3≥a 2 b＋ab 2
反思与感悟比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.作差法比较实数的大小的 般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步, 变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式 跟踪训练2已知x<1,试比较x-1与2x2-2x的大小 解∵(x3-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1 (x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2 (x-1)(x-x+1)=(x-1)[(x=2 2+>0 x-1<0 ∴(x-1)[(x-=)2+]<0, 命题角度2作商法比较大小 例3若0<x<1,a>0且a≠1,试比较|1gn(1-x)与|logn(1+x)的大小关系 llog 1+ log I+x ∴log 1-x2=(1+x)(1-x)<1,且1-x>0 ∴1+x< 1 llog. (1+x)|<lloga (1-x) 反思与感悟作商法的依据:若b>0,则分>1台a>b 跟踪训练3若a>b>0,比较ab与a'b的大小 b ab 又∵a>b>0,∴ab>ab 3
最新K12资料3 反思与感悟 比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的 一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步， 变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练 2 已知 x＜1，试比较 x 3－1 与 2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x)＝x 3－2x 2＋2x－1 ＝(x 3－x 2 )－(x 2－2x＋1)＝x 2 (x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x 2－x＋1)＝(x－1)[(x－ 1 2 ) 2＋ 3 4 ]， ∵(x－ 1 2 ) 2＋ 3 4 ＞0，x－1＜0， ∴(x－1)[(x－ 1 2 ) 2＋ 3 4 ]＜0， ∴x 3－1＜2x 2－2x. 命题角度 2 作商法比较大小 例 3 若 0＜x＜1，a＞0 且 a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系． 解 |loga 1－x | |loga 1＋x | ＝ loga 1－x loga 1＋x ＝|log 1＋x 1－x |， ∵0＜x＜1， ∴|log 1＋x 1－x |＝－log(1＋x)(1－x) ＝log(1＋x) 1 1－x ， ∵1－x 2＝(1＋x)(1－x)＜1，且 1－x＞0， ∴1＋x＜ 1 1－x ， ∴log(1＋x) 1 1－x ＞1，即|loga 1－x | |loga 1＋x | ＞1， ∴|loga(1＋x)|＜|loga(1－x)|. 反思与感悟 作商法的依据：若 b＞0，则a b ＞1⇔a＞b. 跟踪训练 3 若 a＞b＞0，比较 a a b b 与 a b b a 的大小． 解 a a b b a b b a＝a a－b b b－a ＝( a b ) a－b ， ∵a＞b＞0，∴ a b ＞1，a－b＞0， ∴(a b ) a－b ＞1，即a a b b a b b a＞1， 又∵a＞b＞0，∴a a b b ＞a b b a
类型三不等式的基本性质 例4己知a>b>0,c(0,求证: 证明因为a>b0,所以ab>0 于是a×>b× 反思与感悟有关不等式的证明,最基本的依据是不等式的8条基本性质,在解不等式时, 对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质 跟踪训练4如果ab0,∞△0,证明:ac>bd. 证明 a)b>01 c>0}→ac>b>0 →bc>bd>0 b>0 当堂训练 1.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分, 体育成绩z超过45分,用不等式表示就是() A.{y≥380, B.{y>380 z>45 z≥45 x>95 x≥95, C.{y>380 D.{y>380 z>45 z>45 答案D 解析“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“〉”,∴x≥95,少380,z45 2.已知a+b>0,0,那么a,b,一a,一b的大小关系是( A ab-b>-a B a>>-ab C. a-bb-a D. ab-a-b 答案C 解析由a+b0,知a-b, aKo 又0,∴-b0, a>-bb-a
最新K12资料4 类型三 不等式的基本性质 例 4 已知 a>b>0，c<0，求证：c a > c b . 证明 因为 a>b>0，所以 ab>0， 1 ab >0. 于是 a× 1 ab >b× 1 ab ，即1 b > 1 a .由 c<0，得c a > c b . 反思与感悟 有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的 8 条基本性质，在解不等式时， 对不等式进行有关变形的依据也是 8 条基本性质． 跟踪训练 4 如果 a>b>0，c>d>0，证明：ac>bd. 证明 a>b>0 c>0 ⇒ac>bc>0 c>d>0 b>0 ⇒bc>bd>0 ⇒ac>bd. 1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文化课总分 y 高于 380 分， 体育成绩 z 超过 45 分，用不等式表示就是( ) A. x≥95， y≥380， z>45 B. x≥95， y>380， z≥45 C. x>95， y>380， z>45 D. x≥95， y>380， z>45 答案 D 解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45. 2．已知 a＋b>0，b<0，那么 a，b，－a，－b 的大小关系是( ) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 答案 C 解析 由 a＋b>0，知 a>－b， ∴－a<b<0. 又 b<0，∴－b>0， ∴a>－b>b>－a
3.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小 解∵(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4) (a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0, ∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4) 4.某市政府准备投资1800万元兴办一所中学.经调查,班级数量以20至30个为宜,每个 初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元,该学校的规模(初、高中班级数量)所满足 的条件是什么? 解设该校有初中班x个,高中班y个,则有 20≤x+y≤30, 28x+58≤1800 规律与方法 1.比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了 a-b>0ab;a-b=0φa=b;a-b0台ab 2.作差法比较的一般步骤 第一步:作差 第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”; 第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论) 最后得结论 概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键 3.不等式的性质是不等式变形的依据,每一步变形都要严格依照性质进行,并注意不等式推 导所需条件是否具备 40分钟课时作业 选择题 1.设xa0,则下列不等式一定成立的是() A. x<axa B. xaxa C. x<a <ax D. x>a>ax 答案B 解析∵x2-ax=x(x-a)>0, 又ax-a=a(x-a)>0 ax> ∵.x2>ax>a
最新K12资料5 3．比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． 解 ∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4) ＝(a 2－2a－15)－(a 2－2a－8)＝－7<0， ∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)． 4．某市政府准备投资 1 800 万元兴办一所中学．经调查，班级数量以 20 至 30 个为宜，每个 初、高中班硬件配置分别需要 28 万元与 58 万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足 的条件是什么？ 解 设该校有初中班 x 个，高中班 y 个，则有 20≤x＋y≤30， 28x＋58y≤1 800. 1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于 0，等于 0，还是小于 0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论． 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键． 3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推 导所需条件是否具备． 40 分钟课时作业 一、选择题 1．设 x<a<0，则下列不等式一定成立的是( ) A．x 2 <ax<a 2 B．x 2 >ax>a 2 C．x 2 <a 2 <ax D．x 2 >a 2 >ax 答案 B 解析 ∵x 2－ax＝x(x－a)>0， ∴x 2 >ax. 又 ax－a 2＝a(x－a)>0， ∴ax>a 2， ∴x 2 >ax>a 2