3.1不等关系与不等式 学习目标 核心素养 1.了解不等式的性质(重点) 通过学习用不等式表示不等关系、比较两数 2能用不等式(组)表示实际问题中的(式)的大小及不等式的性质,培养学生的逻辑 不等关系(难点) 推理素养 自主预习o振新知 1.不等符号与不等关系的表示 (1)不等符号有<,≤ (2)不等关系用不等式来表示 2.不等式中的文字语言与符号语言之间的转换 大于大于等于小于「小于等于至多至少不少于不多于 ≤三三三三三 思考:不等式a≥b和a≤b有怎样的含义? [提示]①不等式a≥b应读作:“a大于或等于b”,其含义是a>b或a=b,等价于“a 不小于b”,即若ab或a=b中有一个正确,则a≥b正确 ②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含义是ab或a=b,等价于“a不大于b 即若&b或a=b中有一个正确,则a≤b正确 3.比较两实数a,b大小的依据 思考:x2+1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不显而易见.你能想个办法, 比较x2+1与2x的大小,而且具有说服力吗? [提示]作差:x2+1-2x=(x-1)2≥0,所以x+1≥2 4.不等式的性质 名称 式子表达 性质1(对称性) a)b→ba 性质2(传递性) a>b,b>c→a>C 性质3(可加性) Bb→a+c>b+c 推论 +bC→a>c-b 性质4(可乘性) a>b,c>0→aC>b
- 1 - 3.1 不等关系与不等式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解不等式的性质(重点). 2.能用不等式(组)表示实际问题中的 不等关系(难点)． 通过学习用不等式表示不等关系、比较两数 (式)的大小及不等式的性质，培养学生的逻辑 推理素养. 1．不等符号与不等关系的表示 (1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠； (2)不等关系用不等式来表示． 2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换 大于 大于等于 小于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ 思考：不等式 a≥b 和 a≤b 有怎样的含义？ [提示] ①不等式 a≥b 应读作：“a 大于或等于 b”，其含义是 a>b 或 a＝b，等价于“a 不小于 b”，即若 a>b 或 a＝b 中有一个正确，则 a≥b 正确． ②不等式 a≤b 应读作：“a 小于或等于 b”，其含义是 a<b 或 a＝b，等价于“a 不大于 b”， 即若 a<b 或 a＝b 中有一个正确，则 a≤b 正确． 3．比较两实数 a，b 大小的依据 思考：x 2＋1 与 2x 两式都随 x 的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法， 比较 x 2＋1 与 2x 的大小，而且具有说服力吗？ [提示] 作差：x 2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以 x 2＋1≥2x. 4．不等式的性质 名称 式子表达 性质 1(对称性) a>b⇔b<a 性质 2(传递性) a>b，b>c⇒a>c 性质 3(可加性) a>b⇒a＋c>b＋c 推论 a＋b>c⇒a>c－b 性质 4(可乘性) a>b，c>0⇒ac>bc
a>b,c<0→ac<be 性质5(不等式同向可加性) a>b,c>d→a+c>b+d 性质6(不等式同向正数可乘性) ab>0,c>d0→ac>bd 性质7(乘方性) a>b>0→a>b(n∈N,n≥1) 性质8(开方性) ab>0→yaVb(n∈N,n≥2) 思考:关于不等式的性质,下列结论中正确的有哪些? (1)ab且cd,则a-c>b-d (2)ab,则ac>bc. (3)D>b0,.且D0则32 (4)ab>0,则a>b (5)a>b,则> [提示]对于不等式的性质,有可加性但没有作差与作商的性质, (1)中例如5>3且4》1时,则5-4>3-1是错的,故(1)错 (2)中当c≤0时,不成立 )中例如53且心,则子是错的,故(3错 (4)中对n≤0均不成立,例如a=3,b=2,n=-1,则3->2-显然错,故(4)错 (5)因为>0,所以a·之b·2,故(5)正确.因此正确的结论有(5) 1.大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车货总重 量T不超过40吨,用不等式表示为() A.740 B.T40 C.T≤40 D.T≥40 C[限重就是不超过,可以直接建立不等式7≤40.] 2.已知ab,Cd,且cd≠0,则() A. ad> bc C. a-c>b-d D. a+c>b+d D[a,b,c,d的符号未确定,排除A、B两项;同向不等式相减,结果未必是同向不等 式,排除C项,故选D项.] 3.设m=2a+2a+1,n=(a+1)2,则m,n的大小关系是 m≥n[m-n=2a2+2a+1-(a+1)2=a≥0.]
- 2 - a>b，c<0⇒ac<bc 性质 5 (不等式同向可加性) a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 性质 6 (不等式同向正数可乘性) a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 性质 7(乘方性) a>b>0⇒a n >b n (n∈N，n≥1) 性质 8(开方性) a>b>0⇒ n a> n b(n∈N，n≥2) 思考：关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？ (1)a>b 且 c>d，则 a－c>b－d. (2)a>b，则 ac>bc. (3)a>b>0，且 c>d>0 则 a c > b d . (4)a>b>0，则 a n >b n . (5)a>b，则 a c 2> b c 2. [提示] 对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质， (1)中例如 5>3 且 4>1 时，则 5－4>3－1 是错的，故(1)错． (2)中当 c≤0 时，不成立． (3)中例如 5>3 且 4>1，则 5 4 > 3 1 是错的，故(3)错． (4)中对 n≤0 均不成立，例如 a＝3，b＝2，n＝－1，则 3 －1 >2－1 显然错，故(4)错． (5)因为1 c 2>0，所以 a· 1 c 2>b· 1 c 2，故(5)正确．因此正确的结论有(5)． 1．大桥头竖立的“限重 40 吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重 量 T 不超过 40 吨，用不等式表示为( ) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 C [限重就是不超过，可以直接建立不等式 T≤40.] 2．已知 a>b，c>d，且 cd≠0，则( ) A．ad>bc B．ac>bc C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d D [a，b，c，d 的符号未确定，排除 A、B 两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等 式，排除 C 项，故选 D 项．] 3．设 m＝2a 2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则 m，n 的大小关系是________． m≥n [m－n＝2a 2＋2a＋1－(a＋1)2＝a 2≥0.]
(<0,则下列不等式:①a+ab:②|a>b:③ab中,正确的不等式有 1[由<<0,得a<0,K0,故a+K0且ab》0,所以a+Kab,即①正确:;由-<0,得 ,两边同乘,得>,故②错误由0②知ba,0,0,那么心> 故③错误 合作探究提素养 用不等式表示不等关系 【例1】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园 的面积不小于110m2,靠墙的一边长为xm.试用不等式表示其中的不等关系 [解]由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m,所以0<x≤18, 这时菜园的另一条边长为 15-(m) 因此菜园面积S=x15-,依题意有S≥110, 即15 0<x≤18 故该题中的不等关系可用不等式表示为 15--≥110 1.此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系 2.当问题中同时满足几个不等关系,则应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外 若问题有几个变量,选用几个字母分别表示这些变量即可 3.用不等式(组)表示不等关系的步骤: (1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、不多于、不少于等 (2)适当的设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式 1.某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车,有9名驾 驶员.此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型 卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式
- 3 - 4．若 1 a < 1 b <0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b 中，正确的不等式有________ 个． 1 [由 1 a < 1 b <0，得 a<0，b<0，故 a＋b<0 且 ab>0，所以 a＋b<ab，即①正确；由1 a < 1 b <0，得 1 a > 1 b ，两边同乘|ab|，得|b|>|a|，故②错误；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，那么 a>b， 故③错误．] 用不等式表示不等关系 【例 1】 用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，要求菜园 的面积不小于 110 m 2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系． [解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为 x m，而墙长为 18 m，所以 0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为30－x 2 ＝ 15－ x 2 (m)． 因此菜园面积 S＝x· 15－ x 2 ，依题意有 S≥110， 即 x 15－ x 2 ≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 0<x≤18， x 15－ x 2 ≥110. 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外 若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可． 3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 1．某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾 驶员．此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型 卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解]设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则 x+y≤9, x+y≤9, 10×6x+6×8y≥360 5x+4y≥30, 0≤x≤4,X∈N 0≤x≤4,X∈N 0≤y≤7,y∈N 0≤<≤7,y∈N 比较两数(式)的大小 【例2】已知a,b为正实数,试比较+与a+的大小 思路探究:注意结构特征,尝试用作差法或者作商法比较大小 [解]法一:(作差法) (a+√b (a-b)(a√)(a-√b2(Va+√6 ∵a,b为正实数, Va+Vb0,√b0,(B-、√b2≥0, ≥0, lab 当且仅当a=b时等号成立 +GV+当且仅当一时取等号 法二:(作商法) a+yb、ab(ya+yb) +yb)(a+b-vab) a+b lab( va+yb) =b)+、m=1+ (Va-vb 一≥1,当且仅当a=b时取等号 0,√a+√6>0 VG=√当且仅当b时取等号 法三:(平方后作差) bab +-+2vab,(va+b)2=a+b+vab t)-+b=(a+b)(m=b
- 4 - [解] 设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，则 x＋y≤9， 10×6x＋6×8y≥360， 0≤x≤4，x∈N， 0≤y≤7，y∈N， 即 x＋y≤9， 5x＋4y≥30， 0≤x≤4，x∈N， 0≤y≤7，y∈N. 比较两数(式)的大小 【例 2】 已知 a，b 为正实数，试比较 a b ＋ b a 与 a＋ b的大小． 思路探究：注意结构特征，尝试用作差法或者作商法比较大小． [解] 法一：(作差法) a b ＋ b a －( a＋ b)＝ a b － b ＋ b a － a ＝ a－b b ＋ b－a a ＝ （a－b）（ a－ b） ab ＝ （ a－ b）2（ a＋ b） ab . ∵a，b 为正实数， ∴ a＋ b>0， ab>0，( a－ b) 2≥0， ∴ （ a－ b）2（ a＋ b） ab ≥0， 当且仅当 a＝b 时等号成立． ∴ a b ＋ b a ≥ a＋ b(当且仅当 a＝b 时取等号)． 法二：(作商法) b a ＋ a b a＋ b ＝ （ b） 3＋（ a） 3 ab（ a＋ b） ＝ （ a＋ b）（a＋b－ ab） ab（ a＋ b） ＝ a＋b－ ab ab ＝ （ a－ b）2＋ ab ab ＝1＋ （ a－ b）2 ab ≥1，当且仅当 a＝b 时取等号． ∵ b a ＋ a b >0， a＋ b>0， ∴ b a ＋ a b ≥ a＋ b(当且仅当 a＝b 时取等号)． 法三：(平方后作差)∵ a b ＋ b a 2 ＝ a 2 b ＋ b 2 a ＋2 ab，( a＋ b) 2＝a＋b＋2 ab， ∴ a b ＋ b a 2 －( a＋ b) 2＝ （a＋b）（a－b） 2 ab
∴a>0,b>0, (a+b)(a-b) a⊥b >0,√ayb>0,故 ≥√a+Vb(当且仅当a=b时取等号) 1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤:作差→变形→定号→结论. (2)变形的方法:①因式分解;②配方:③通分:④对数与指数的运算性质:⑤分母或分 子有理化:⑥分类讨论 2.如果两实数同号,亦可采用作商法来比较大小,即作商后看商是大于1,等于1,还 是小于1. 2.已知x1,比较x-1与2x-2x的大小 [解](x3-1)-(2x2-2x) (x-1)(x2+x+1)-2x(x-1) (x-1)(x2-x+1) 因为x1,所以x-1<0 所以(x-1)(13k0 所以x-1<2x2-2x 不等式性质的应用 [探究问题 1.小明同学做题时进行如下变形: 2 又∵一6<a<8
- 5 - ∵a>0，b>0， ∴ （a＋b）（a－b） 2 ab ≥0， 又 a b ＋ b a >0， a＋ b>0，故 a b ＋ b a ≥ a＋ b(当且仅当 a＝b 时取等号)． 1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分 子有理化；⑥分类讨论． 2．如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于 1，等于 1，还 是小于 1. 2．已知 x<1，比较 x 3－1 与 2x 2－2x 的大小． [解] (x 3－1)－(2x 2－2x) ＝(x－1)(x 2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x 2－x＋1) ＝(x－1) x－ 1 2 2 ＋ 3 4 . 因为 x<1，所以 x－1<0. 又 x－ 1 2 2 ＋ 3 4 >0， 所以(x－1) x－ 1 2 2 ＋ 3 4 <0. 所以 x 3－1<2x 2－2x. 不等式性质的应用 [探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴ 1 3 < 1 b < 1 2 ， 又∵－6<a<8