函数与方程习题课 课时目标1.进一步了解函数的零点与方程根的联系2进一步熟悉用“二分法”求方程 的近似解3初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式 基演练● 1.函数fx)在区间(0,2)内有零点,则下列正确命题的个数为 ①(0)>0,(2)<0 ②0)2)0; ③在区间(0,2)内,存在x1,x2使fx)x)<0 2.函数f(x)=x2+2x+b的图象与两条坐标轴共有两个交点,那么函数y=x)的零点个数 是 3.设函数fx)=log a在区间(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是 而数2下与面的的根标一(到0n 6.方程4x2-6x-1=0位于区间(-1,2)内的解有 个 作业设计 填空题 1.用二分法研究函数f(x)=x2+3x-1的零点时,每一次经计算0)0,f0.5)>0,可得其 中一个零点x∈ ,第二次应计算 2.函数几(x)=x5-x-1的一个零点所在的区间可能是 (填你认为正确的一个区 间即可) 3.函数几)=1+x的零点是 4.已知二次函数y=(x)=x2+x+a(a>0),若fm)<0,则在(m,m+1)上函数零点的个数 是 5.已知函数fx)=(x-a)(x-b)+2(a<b),并且a,B∝<B)是函数y=fx)的两个零点,则实 数a,b,a,B的大小关系是 6.若函数y=(x)在区间(-22)上的图象是连续不断的曲线,且方程fx)=0在(-2,2)上仅 有一个实数根,则∫-1)f(1)的值 (填“大于0”,“小于0”,“等于0”或 无法判断”) 7.已知偶函数y=fx)有四个零点,则方程x)=0的所有实数根之和为 8.若关于x的二次方程x2-2x+p+1=0的两根a,B满足0<∝<1<B<2,则实数p的取值 范围为 9.已知函数fx)=ax2+2x+1(a∈R),若方程∫x)=0至少有一正根,则a的取值范围为 解答题 10.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表: f1.5)=0.625 f125)≈-0984 1375)≈-0260 14375)≈0.1621140625)≈-0054 求方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)
函数与方程习题课 课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程 的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式． 1．函数 f(x)在区间(0,2)内有零点，则下列正确命题的个数为________． ①f(0)>0，f(2)<0； ②f(0)·f(2)<0； ③在区间(0,2)内，存在 x1，x2 使 f(x1)·f(x2)<0. 2．函数 f(x)＝x 2＋2x＋b 的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数 y＝f(x)的零点个数 是________． 3．设函数 f(x)＝log3 x＋2 x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数 a 的取值范围是________． 4．方程 2 x－x－2＝0 在实数范围内的解的个数是________． 5．函数 y＝( 1 2 ) x与函数 y＝lg x 的图象的交点的横坐标是________．(精确到 0.1) 6．方程 4x 2－6x－1＝0 位于区间(－1,2)内的解有________个． 一、填空题 1．用二分法研究函数 f(x)＝x 3＋3x－1 的零点时，每一次经计算 f(0)<0，f(0.5)>0，可得其 中一个零点 x0∈________，第二次应计算________． 2．函数 f(x)＝x 5－x－1 的一个零点所在的区间可能是________．(填你认为正确的一个区 间即可) 3．函数 f(x)＝ 1－x 2 1＋x 的零点是________． 4．已知二次函数 y＝f(x)＝x 2＋x＋a(a>0)，若 f(m)<0，则在(m，m＋1)上函数零点的个数 是______________． 5．已知函数 f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，并且 α，β(α<β)是函数 y＝f(x)的两个零点，则实 数 a，b，α，β 的大小关系是________． 6．若函数 y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程 f(x)＝0 在(－2,2)上仅 有一个实数根，则 f(－1)·f(1)的值________．(填“大于 0”，“小于 0”，“等于 0”或 “无法判断”) 7．已知偶函数 y＝f(x)有四个零点，则方程 f(x)＝0 的所有实数根之和为________． 8．若关于 x 的二次方程 x 2－2x＋p＋1＝0 的两根 α，β 满足 0<α<1<β<2，则实数 p 的取值 范围为______________． 9．已知函数 f(x)＝ax2＋2x＋1(a∈R)，若方程 f(x)＝0 至少有一正根，则 a 的取值范围为 ________． 二、解答题 10．若函数 f(x)＝x 3＋x 2－2x－2 的一个零点附近的函数值的参考数据如下表： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054 求方程 x 3＋x 2－2x－2＝0 的一个近似根(精确到 0.1)．
11.分别求实数m的范围,使关于x的方程x2+2x+m+1=0, 1)有两个负根; (2)有两个实根,且一根比2大,另一根比2小 (3)有两个实根,且都比1大 能力提升 12.已知函数f(x)=xx-4 (1)画出函数x)=xx-4的图象; (2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值 (3)当实数a为何值时,方程fx)=a有三个解? 13.当a取何值时,方程ax2-2x+1=0的一个根在(0,1)上,另一个根在(12)上 反思感悟 1.函数与方程存在着内在的联系,如函数y=fx)的图象与x轴的交点的横坐标就是方程 fx)=0的解两个函数y=(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标就是方程fx)=gx)的解等根
11．分别求实数 m 的范围，使关于 x 的方程 x 2＋2x＋m＋1＝0， (1)有两个负根； (2)有两个实根，且一根比 2 大，另一根比 2 小； (3)有两个实根，且都比 1 大． 能力提升 12．已知函数 f(x)＝x|x－4|. (1)画出函数 f(x)＝x|x－4|的图象； (2)求函数 f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值； (3)当实数 a 为何值时，方程 f(x)＝a 有三个解？ 13．当 a 取何值时，方程 ax2－2x＋1＝0 的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上． 1．函数与方程存在着内在的联系，如函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标就是方程 f(x)＝0 的解；两个函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象交点的横坐标就是方程 f(x)＝g(x)的解等．根
据这些联系,一方面,可通过构造函数来研究方程的解的情况;另一方面,也可通过构 造方程来研究函数的相关问题.利用函数与方程的相互转化去解决问题,这是一种重要 的数学思想方法 2.对于二次方程fx)=ax2+bx+c=0根的问题,从函数角度解决有时比较简洁.一般地, 这类问题可从四个方面考虑:①开口方向;②判别式;③对称轴x=-与区间端点的关 系;④区间端点函数值的正负 习题课 双基演练 1.0 解析函数y=f(x)在区间a,b)内存在零点,我们并不一定能找到x,x2∈(a,b),满足 fx)f(x2)<0,故①、②、③都是错误的 2.1或2 解析当x)的图象和x轴相切与y轴相交时,函数风x)的零点个数为1,当x)的图象与 y轴交于原点与x轴的另一交点在x轴负半轴上时,函数fx)有2个零点 解析f(x)=log(1+-)-a在(1,2)上是减函数 由题设有f1)>0,f2)<0,解得a∈(og2,1) 4.2 解析作出函数y=2及y=x+2的图象,它们有两个不同的交点,因此原方程有两个不 同的根 5.1.9 解析令几x)=()1gx,则1)=2>0,13)=-1g30,x)=0在(1.3内有一解,利 用二分法借助计算器可得近似解为1.9 6.2 解析设f(x)=4x2-6x-1,由f-1)>0,2)>0,且(0)<0,知方程4x2-6x-1=0在 (-1,0)和(0,2)内各有一解,因此在区间(-1,2)内有两个解 作业设计 1.(0,0.5),f0.25) 解析∵f(0)<0,(0.5)>0,:f(0)(0.5)<0 故fx)在(0,0.5)必有零点,利用二分法, 0+0.5 则第二次计算应为f(-)=f0.25) 2.[1,2I(答案不唯一) 解析因为f0)<0,f(1)<0,f(2)>0 所以存在一个零点x∈[,2]
据这些联系，一方面，可通过构造函数来研究方程的解的情况；另一方面，也可通过构 造方程来研究函数的相关问题．利用函数与方程的相互转化去解决问题，这是一种重要 的数学思想方法． 2．对于二次方程 f(x)＝ax2＋bx＋c＝0 根的问题，从函数角度解决有时比较简洁．一般地， 这类问题可从四个方面考虑：①开口方向；②判别式；③对称轴 x＝－ b 2a 与区间端点的关 系；④区间端点函数值的正负． 习题课 双基演练 1．0 解析 函数 y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，我们并不一定能找到 x1，x2∈(a，b)，满足 f(x1)·f(x2)<0，故①、②、③都是错误的． 2．1 或 2 解析 当 f(x)的图象和 x 轴相切与 y 轴相交时，函数 f(x)的零点个数为 1，当 f(x)的图象与 y 轴交于原点与 x 轴的另一交点在 x 轴负半轴上时，函数 f(x)有 2 个零点． 3．(log32,1) 解析 f(x)＝log3(1＋ 2 x )－a 在(1,2)上是减函数， 由题设有 f(1)>0，f(2)<0，解得 a∈(log32,1)． 4．2 解析 作出函数 y＝2 x及 y＝x＋2 的图象，它们有两个不同的交点，因此原方程有两个不 同的根． 5．1.9 解析 令 f(x)＝( 1 2 ) x－lg x，则 f(1)＝ 1 2 >0，f(3)＝ 1 8 －lg 3<0，∴f(x)＝0 在(1,3)内有一解，利 用二分法借助计算器可得近似解为 1.9. 6．2 解析 设 f(x)＝4x 2－6x－1，由 f(－1)>0，f(2)>0，且 f(0)<0，知方程 4x 2－6x－1＝0 在 (－1,0)和(0,2)内各有一解，因此在区间(－1,2)内有两个解． 作业设计 1．(0,0.5)，f(0.25) 解析 ∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0， 故 f(x)在(0,0.5)必有零点，利用二分法， 则第二次计算应为 f( 0＋0.5 2 )＝f(0.25)． 2．[1,2](答案不唯一) 解析 因为 f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0， 所以存在一个零点 x∈[1,2]． 3．1
x 解析由(x)=0,即—=0,得x=1,即函数fx)的零点为1 解析二次函数y=x)=x2+x+a可化为y=x)=(x+)+a-,则二次函数对称轴为x 2其图象如图 fm)<0,由图象知m+1)>0, fm)fm+1)<0,x)在(m,m+1)上有1个零点 5. a<asB<b 解析函数g(x)=(x-a)(x-b)的两个零点是a,b 由于y=fx)的图象可看作是由y=gx)的图象向上平移2个单位而得到的,所以a<a< 6.无法判断 解析由题意不能断定零点在区间(-1,1)内部还是外部.故填“无法判断” 解析不妨设它的两个正零点分别为x,x 由f(-x)=(x)可知它的两个负零点分别是-x,-x,于是x1+x2-x1-x2=0 解析设(x)=x2-2x+p+1,根据题意得∫(0)=p+1>0 且f1)=p<0,2)=p+1>0,解得-1p<0 解析对ax2+2x+1=0,当a=0时,x=1,不符题意; 当a≠0,4=4-4a=0时,得x=-1(舍去) 当a≠0时,由』=4-4a>0,得a 又当x=0时,(0)=1,即fx)的图象过(0,1)点, (图象的对称轴方程为x=-2= 当-0,即a<0时 方程八x)=0有一正根结合fx)的图象); 当--0,即a>0时,由fx)的图象知fx)=0有两负根, 不符题意.故a<0 解∵(1.375)/(1.4375)0, 且1.375与14375精确到01的近似值都是1.4 故方程x+x2-2x-2=0的一个近似根为14 11.解(1)方法一(方程思想) 设方程的两个根为x1,x2
解析 由 f(x)＝0，即 1－x 2 1＋x ＝0，得 x＝1，即函数 f(x)的零点为 1. 4．1 解析 二次函数 y＝f(x)＝x 2＋x＋a 可化为 y＝f(x)＝(x＋ 1 2 ) 2＋a－ 1 4 ，则二次函数对称轴为 x ＝－ 1 2 ，其图象如图． ∵f(m)<0，由图象知 f(m＋1)>0， ∴f(m)·f(m＋1)<0，∴f(x)在(m，m＋1)上有 1 个零点． 5．a<α<β<b 解析 函数 g(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点是 a，b. 由于 y＝f(x)的图象可看作是由 y＝g(x)的图象向上平移 2 个单位而得到的，所以 a<α<β<b. 6．无法判断 解析 由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．故填“无法判断”． 7．0 解析 不妨设它的两个正零点分别为 x1，x2. 由 f(－x)＝f(x)可知它的两个负零点分别是－x1，－x2，于是 x1＋x2－x1－x2＝0. 8．(－1,0) 解析 设 f(x)＝x 2－2x＋p＋1，根据题意得 f(0)＝p＋1>0， 且 f(1)＝p<0，f(2)＝p＋1>0，解得－1<p<0. 9．a<0 解析 对 ax2＋2x＋1＝0，当 a＝0 时，x＝－ 1 2 ，不符题意； 当 a≠0，Δ＝4－4a＝0 时，得 x＝－1(舍去)． 当 a≠0 时，由 Δ＝4－4a>0，得 a<1， 又当 x＝0 时，f(0)＝1，即 f(x)的图象过(0,1)点， f(x)图象的对称轴方程为 x＝－ 2 2a ＝－ 1 a ， 当－1 a >0，即 a<0 时， 方程 f(x)＝0 有一正根(结合 f(x)的图象)； 当－1 a <0，即 a>0 时，由 f(x)的图象知 f(x)＝0 有两负根， 不符题意．故 a<0. 10．解 ∵f(1.375)·f(1.437 5)<0， 且 1.375 与 1.4375 精确到 0.1 的近似值都是 1.4， 故方程 x 3＋x 2－2x－2＝0 的一个近似根为 1.4. 11．解 (1)方法一 (方程思想) 设方程的两个根为 x1，x2
A=4-4(m+1)≥0 则有两个负根的条件是x+x2=-2<0, +1>0 解得-1<m≤0. 方法二(函数思想) 设函数fx)=x2+2x+m+1,则原问题转化为函数fx)与x轴的两个交点均在y轴左侧, 结合函数的图象,有 「4=4-4(m1+1)≥0, b 解得-1<m≤0. (2)方法一(方程思想) 设方程的两个根为x,x2,则令y=x1-2>0,=x2-2<0,问题转化为求方程y+2)2+ 2(y+2)+m+1=0即方程y2+6y+m+9=0有两个异号实根的条件故有yy2=m+9<0, 解得m-9 方法二(函数思想) 设函数fx)=x2+2x+m+1,则原问题转化为函数fx)与x轴的两个交点分别在2的两侧, 结合函数的图象,有(2)=m+9<0,解得m-9 4=4-4(m+1)≥0 (3)由题意知,x1-1+x2-1>0 (方程思想) A=4-4(m+1)≥0 或)、b (函数思想), √u)=m+4>0 因为两方程组无解,故解集为空集
则有两个负根的条件是 Δ＝4－4(m＋1)≥0， x1＋x2＝－2<0， x1x2＝m＋1>0， 解得－1<m≤0. 方法二 (函数思想) 设函数 f(x)＝x 2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数 f(x)与 x 轴的两个交点均在 y 轴左侧， 结合函数的图象，有 Δ＝4－4(m＋1)≥0， － b 2a ＝－1<0， f(0)＝m＋1>0， 解得－1<m≤0. (2)方法一 (方程思想) 设方程的两个根为 x1，x2，则令 y1＝x1－2>0，y2＝x2－2<0，问题转化为求方程(y＋2) 2＋ 2(y＋2)＋m＋1＝0，即方程 y 2＋6y＋m＋9＝0 有两个异号实根的条件，故有 y1y2＝m＋9<0， 解得 m<－9. 方法二 (函数思想) 设函数 f(x)＝x 2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数 f(x)与 x 轴的两个交点分别在 2 的两侧， 结合函数的图象，有 f(2)＝m＋9<0，解得 m<－9. (3)由题意知， Δ＝4－4(m＋1)≥0， x1－1＋x2－1>0， (x1－1)(x2－1)>0 (方程思想)， 或 Δ＝4－4(m＋1)≥0， － b 2a ＝－1>1， f(1)＝m＋4>0 (函数思想)， 因为两方程组无解，故解集为空集．